(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测(三十五)基本不等式及其应用 文(含解析)苏教版

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课时跟踪检测(三十五)基本不等式及其应用一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2019·连云港调研)若x>0,y>0,且log2x+log2y=2,则1x+2y的最小值为________.解析:∵x>0,y>0,且log2x+log2y=log2xy=2,∴xy=4,∴1x+2y≥22xy=2,当且仅当1x=2y且xy=4,即x=2,y=22时取等号,∴1x+2y的最小值为2.答案:22.当x>0时,f(x)=2xx2+1的最大值为________.解析:因为x>0,所以f(x)=2xx2+1=2x+1x≤22=1,当且仅当x=1x,即x=1时取等号.答案:13.(2018·苏州期末)已知a>0,b>0,且1a+1b=1,则3a+2b+ba的最小值为________.解析:∵a>0,b>0,且1a+1b=1,∴3a+2b+ba=3a1a+1b+2b1a+1b+ba=5+3ab+3ba≥5+29=11,当且仅当a=b=2时取等号,∴3a+2b+ba的最小值为11.答案:114.当3<x<12时,函数y=x--xx的最大值为________.解析:y=x--xx=-x2+15x-36x=-x+36x+15≤-2x·36x+15=3.当且仅当x=36x,即x=6时,ymax=3.答案:35.(2018·通州期末)若log4(a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是________.解析:∵log4(a+4b)=log2ab,∴log2a+4b=log2ab,a+4b>0,ab>0.∴a+4b=ab,即a+4b=ab,∴1b+4a=1,∴a+b=(a+b)1b+4a=5+ab+4ba≥5+2ab·4ba=9,当且仅当a=2b=6时取等号.∴a+b的最小值是9.答案:96.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品________件.解析:每批生产x件,则平均每件产品的生产准备费用是800x元,每件产品的仓储费用是x8元,则800x+x8≥2800x·x8=20,当且仅当800x=x8,即x=80时“=”成立,所以每批生产产品80件.答案:80二保高考,全练题型做到高考达标1.(2019·盐城调研)若x>0,y>0,且x+1x+y+4y≤9,则1x+4y的最大值为________.解析:令x+y=n,1x+4y=m,∴m·n=(x+y)1x+4y=5+yx+4xy≥9.∴m·n≥9,m+n≤9⇒9≥m+n≥m+9m.∴m2-9m+9≤0,解得9-352≤m≤9+352.∴1x+4y的最大值为9+352.答案:9+3522.已知ab=14,a,b∈(0,1),则11-a+21-b的最小值为________.解析:由题意得b=14a,所以0<14a<1,即a∈14,1,得11-a+21-b=11-a+8a4a-1=11-a+24a-1+2.4(1-a)+(4a-1)=3,记S=11-a+24a-1,则S=44-4a+24a-1=13[(4-4a)+(4a-1)]44-4a+24a-1=2+234-4a4a-1+a-4-4a≥2+423,当且仅当4-4a4a-1=a-4-4a时等号成立,所以所求最小值为4+423.答案:4+4233.(2018·连云港期末)已知x>0,y>0,且2x+4y=4,则2x+1y的最小值是________.解析:∵x>0,y>0,且2x+4y=4,∴4=2x+4y≥22x+2y,即x+2y≤2,∴2x+1y≥122x+1y(x+2y)=124+4yx+xy≥124+24yx·xy=4,当且仅当x=2y时等号成立,∴2x+1y的最小值是4.答案:44.(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为25,则ab的最大值是________.解析:将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径r=5,故直线过圆心,即a+2b=6,所以a+2b=6≥2a·2b,可得ab≤92,当且仅当a=2b=3时等号成立,即ab的最大值是92.答案:925.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素,要求设计其横断面的面积为93m2,且高度不低于3m,记防洪堤横断面的腰长为xm,外周长(梯形的上底与两腰长的和)为ym,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=________.解析:设横断面的高为h,由题意得AD=BC+2·x2=BC+x,h=32x,所以93=12(AD+BC)h=12(2BC+x)·32x,故BC=18x-x2,由h=32x≥3,BC=18x-x2>0,得2≤x<6,所以y=BC+2x=18x+3x2(2≤x<6),从而y=18x+3x2≥218x·3x2=63,当且仅当18x=3x2(2≤x<6),即x=23时等号成立.答案:236.(2018·苏州期末)已知正数x,y满足x+y=1,则4x+2+1y+1的最小值为________.解析:令x+2=a,y+1=b,则a+b=4(a>2,b>1),所以4x+2+1y+1=4a+1b=14(a+b)4a+1b=145+4ba+ab≥14(5+4)=94,当且仅当a=83,b=43,即x=23,y=13时取等号.则4x+2+1y+1的最小值为94.答案:947.(2018·南通三模)若正实数x,y满足x+y=1,则yx+4y的最小值是________.解析:因为正实数x,y满足x+y=1,所以yx+4y=yx+x+yy=yx+4xy+4≥2yx·4xy+4=8,当且仅当yx=4xy,即x=13,y=23时取“=”,所以yx+4y的最小值是8.答案:88.(2018·扬州期末)已知正实数x,y满足x+y=xy,则3xx-1+2yy-1的最小值为________.解析:∵x+y=xy,∴3xx-1+2yy-1=3xy-+2yx-x-y-=5xy-3x-2yxy-x-y+1=5x+5y-3x-2yx+y-x-y+1=2x+3y.又∵x+y=xy可化为1y+1x=1,∴2x+3y=(2x+3y)1y+1x=2xy+3yx+5≥22xy·3yx+5=26+5,当且仅当2x2=3y2时取等号,∴3xx-1+2yy-1的最小值为26+5.答案:26+59.(1)当x<32时,求函数y=x+82x-3的最大值;(2)设0<x<2,求函数y=x-2x的最大值.解:(1)y=12(2x-3)+82x-3+32=-3-2x2+83-2x+32.当x<32时,有3-2x>0,所以3-2x2+83-2x≥23-2x2·83-2x=4,当且仅当3-2x2=83-2x,即x=-12时取等号.于是y≤-4+32=-52,故函数的最大值为-52.(2)因为0<x<2,所以2-x>0,所以y=x-2x=2·x-x≤2·x+2-x2=2,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,所以当x=1时,函数y=x-2x的最大值为2.10.(2019·泰州调研)已知x>0,y>0,且2x+y=4.(1)求xy的最大值及相应的x,y的值;(2)求9x+3y的最小值及相应的x,y的值.解:(1)因为4=2x+y≥22xy⇒xy≤2,所以xy的最大值为2,当且仅当2x=y=2,即x=1,y=2时取“=”.(2)因为9x+3y=32x+3y≥232x+y=18,所以9x+3y的最小值为18,当且仅当9x=3y,即2x=y=2⇒x=1,y=2时取“=”.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2018·启东期中)已知α为锐角,则2tanα+3tan2α的最小值为________.解析:∵α为锐角,∴tanα>0,∴2tanα+3tan2α=2tanα+-tan2α2tanα=32tanα+tanα2≥232tanα·tanα2=3,当且仅当tanα=3,即α=π3时取得等号,∴2tanα+3tan2α的最小值为3.答案:32.(2018·苏北四市联考)已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x,y,都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,则实数a的取值范围为________.解析:法一:由x+y+4=2xy≤x+y22得(x+y)2-2(x+y)-8≥0,又x,y是正实数,得x+y≥4.原不等式整理可得(x+y)2-a(x+y)+1≥0,令x+y=t,t≥4,则t2-at+1≥0,t∈[4,+∞)(*)恒成立,当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,(*)式恒成立;当a<-2时,对称轴t=a2<-1,(*)式恒成立;当a>2时,对称轴t=a2,要使(*)式恒成立,则a2<4,且16-4a+1≥0,得2<a≤174.综上可得(*)式恒成立时,a≤174,则实数a的取值范围是-∞,174.法二:由x+y+4=2xy≤x+y22得(x+y)2-2(x+y)-8≥0,又x,y是正实数,得x+y≥4.原不等式整理可得(x+y)2-a(x+y)+1≥0,令x+y=t,t≥4,则t2-at+1≥0,t∈[4,+∞)(*)恒成立,则a≤t+1tmin=174,故实数a的取值范围是-∞,174.答案:-∞,1743.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得:当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250.当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x.所以L(x)=-13x2+40x-250,0<x<80,1200-x+10000x,x≥80.(2)当0<x<80时,L(x)=-13(x-60)2+950.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元.当x≥80时,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000.此时x=10000x,即x=100时,L(x)取得最大值1000万元.由于950<1000,所以,当年产量为100千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为1000万元.

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