课时跟踪检测(三十四)二元一次不等式组与简单的线性规划问题一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2018·江阴期中)不等式组x-y+2≥0,x+y≥0,x≤3所表示的平面区域的面积是________.解析:作出不等式组表示的平面区域如图中△ABC所示.由x-y+2=0,x+y=0,得x=-1,y=1,即A(-1,1).由x=3,x-y+2=0,得x=3,y=5,即B(3,5).由x=3,x+y=0,得x=3,y=-3,即C(3,-3).则BC=5-(-3)=8,点A到直线x=3的距离d=3-(-1)=4,故S△ABC=12×8×4=16.答案:162.(2018·南京、盐城一模)已知实数x,y满足x+y-5≤0,2x-y+2≥0,y≥0,则目标函数z=x-y的最小值为________.解析:作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示),作出直线y=x,则当目标函数y=x-z过点C(1,4)时,zmin=-3.答案:-33.(2019·泰州中学高三学情调研)已知点P(x,y)满足x+y≤4,y≥x,x≥1,则z=yx的最大值为________.解析:作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示.z=yx表示过平面区域的点(x,y)与(0,0)的直线的斜率,由图知当直线过点A时斜率最大,由x=1,x+y=4,得A(1,3),显然直线过点A(1,3)时,z取得最大值,zmax=3.答案:34.(2019·四川德阳月考)设变量x,y满足x-y+1≥0,x+y-3≥0,2x-y-3≤0,则目标函数z=2x+3y的最大值为________.解析:由约束条件x-y+1≥0,x+y-3≥0,2x-y-3≤0作出可行域如图中阴影部分,由x-y+1=0,2x-y-3=0解得x=4,y=5,则B(4,5),将目标函数z=2x+3y变形为y=-23x+z3.由图可知,当直线y=-23x+z3过B时,直线在y轴上的截距最大,此时z取最大值,为2×4+3×5=23.答案:235.(2018·昆山期中)若点(a,1)在直线y=-2x+2的下方,则实数a的取值范围是________.解析:因为直线y=-2x+2下方的点的坐标满足不等式y<-2x+2,又点(a,1)在直线y=-2x+2的下方,所以1<-2a+2,解得a<12.答案:-∞,126.(2018·昆明七校调研)已知实数x,y满足x-y+5≥0,x≤4,x+y≥0.则z=x+3y的最小值为________.解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x+3y=0,如图,平移直线y=-x3,当直线经过点(4,-4)时,在y轴上的截距达到最小,此时z=x+3y取得最小值4+3×(-4)=-8.答案:-8二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·苏州期末)已知实数x,y满足y≤x-1,x≤3,x+y≥4,则目标函数z=2x-y的最大值是________.解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x-y=0,平移直线2x-y=0,当直线过点A时,z=2x-y取得最大值,联立x=3,x+y=4,得A(3,1),所以zmax=5.答案:52.(2019·宿迁调研)已知点P(x,y)在不等式组x-2≤0,y-1≤0,x+2y-2≥0所表示的平面区域内运动,则x2+y2的最小值为________.解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.x2+y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点O的距离,由图知,点O(0,0)到直线x+2y-2=0的距离是x2+y2的最小值,其最小值为|-2|1+22=255.答案:2553.(2018·徐州二模)若不等式组x+3y≥4,3x+y≤4,x≥0所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分,则k的值是________.解析:作出不等式组所表示的可行域如图中△ABC所示,解x+3y=4,3x+y=4,得A(1,1),易得B(0,4),C0,43,又直线y=kx+43过点C且把△ABC的面积平分,所以直线y=kx+43过AB的中点D12,52,所以k=52-4312=73.答案:734.(2018·湖南东部六校联考)实数x,y满足x≥a,y≥x,x+y≤2(a<1),且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a=______.解析:如图所示,平移直线2x+y=0,可知在点A(a,a)处z取最小值,即zmin=3a,在点B(1,1)处z取最大值,即zmax=3,所以12a=3,即a=14.答案:145.(2019·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如表:维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合,且使混合物中维生素A,B的含量分别不低于100,120单位,则混合物质量的最小值为________kg.解析:由题意,设混合物中甲为xkg,乙为ykg,混合物为z=x+y,则得约束条件3x+4y≥100,5x+2y≥120,x>0,y>0,作出其平面区域如图所示,平移直线x+y=0,可知当直线经过点A时,z取得最小值.由3x+4y=100,5x+2y=120,解得x=20,y=10,即A(20,10),所以zmin=x+y=30.答案:306.已知实数x,y满足约束条件x+y≥3,y≤3,x≤3,则z=5-(x2+y2)的最大值为________.解析:作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,求目标函数z=5-(x2+y2)的最大值,即求x2+y2的最小值.由几何意义知就是求可行域内的点P(x,y)到原点距离的最小值.易知点O到直线x+y-3=0的距离最短,为322,所以zmax=5-3222=12.答案:127.(2019·靖江模拟)x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为________.解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,将z=y-ax化为y=ax+z,z相当于直线y=ax+z的纵截距,由题意可得,当y=ax+z与2x-y+2=0或与x+y-2=0平行时符合题意,故a=2或-1.答案:2或-18.(2018·启东中学测试)已知变量x,y满足约束条件x+y-1≤0,x-y-1≤0,x-a≥0,若yx-2≤12恒成立,则实数a的取值范围是________.解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,yx-2表示区域内的点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k,由图易知BC与y轴重合时,|k|≤kAC=12,此时a=0,当BC向右移动时,|k|≤kAC<12,此时a≤1,综上,a∈[0,1].答案:[0,1]9.已知x,y满足条件7x-5y-23≤0,x+7y-11≤0,4x+y+10≥0.(1)求u=x-2y的最大值和最小值;(2)求z=yx+5的最大值和最小值.解:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.(1)由7x-5y-23=0,4x+y+10=0得点B的坐标为(-1,-6),由x+7y-11=0,4x+y+10=0得点C的坐标为(-3,2),平移直线u=x-2y可知,直线过C点时,z取最小值,过B点时,z取最大值.所以umin=-3-2×2=-7,umax=-1-2×(-6)=11.(2)z=yx+5=y-0x--,求z的最大值和最小值,即是求可行域内的点(x,y)与点(-5,0)连线斜率k的最大值和最小值.设点M的坐标为(-5,0),由(1)知点B的坐标为(-1,-6),点C的坐标为(-3,2),所以kmax=kMC=2-0-3--=1,kmin=kMB=-6-0-1--=-32,所以yx+5的最大值是1,最小值是-32.10.(2019·苏北四市调研)已知x,y满足约束条件x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,求:(1)z=x+2y-4的最大值;(2)z=x2+y2-10y+25的最小值;(3)z=2y+1x+1的取值范围.解:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,并求出顶点坐标分别为A(3,1),B(1,3),C(7,9).(1)作出直线x+2y=0,平移该直线,当直线经过点C时,z取得最大值,zmax=7+2×9-4=21.(2)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,由图知点M到直线x-y+2=0的距离的平方为所求z的最小值,所以zmin=|-5+2|22=92.(3)z=2y+1x+1=2·y+12x+1的几何意义是可行域内的动点P(x,y)与定点D-1,-12连线斜率的2倍.由图象可知,kDB=74,kDA=38,即38≤k≤74,所以34≤z≤72,故z的取值范围是34,72.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2018·无锡期末)已知变量x,y满足x≥2,x+y≤4,2x-y≤c,目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值为________.解析:作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示,作出直线3x+y=0,平移该直线,当直线经过点A时,z取得最小值.联立3x+y=5,x=2,解得A(2,-1),代入y=2x-c,得c=5.答案:52.(2018·南通调研)已知变量x,y满足x-4y+3≤0,3x+5y-25≤0,x≥1.若z=x2+y2,则z的取值范围是________.解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.联立x=1,x-4y+3=0得C(1,1).联立3x+5y-25=0,x-4y+3=0得B(5,2).z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=OC=2,dmax=OB=29,故z的取值范围是[2,29].答案:[2,29]3.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省?解:设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg,总费用为z,则5x+7y≥35,10x+4y≥40,x≥0,y≥0,目标函数为z=3x+2y,作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.把z=3x+2y变形为y=-32x+z2,得到斜率为-32,在y轴上的截距为z2,随z变化的一族平行直线.由图可知,当直线y=-32x+z2经过可行域上的点A时,截距z2最小,即z最小.由10x+4y=40,5x+7y=35得A145,3,所以zmin=3×145+2×3=725.所以当使用甲种原料145×10=28(g),乙种原料3×10=30(g)时,费用最省.