（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（三十四）二元一次不等式组与简单的线性规划问题

课时跟踪检测（三十四）二元一次不等式组与简单的线性规划问题一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·江阴期中)不等式组x－y＋2≥0，x＋y≥0，x≤3所表示的平面区域的面积是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中△ABC所示．由x－y＋2＝0，x＋y＝0，得x＝－1，y＝1，即A(－1,1)．由x＝3，x－y＋2＝0，得x＝3，y＝5，即B(3,5)．由x＝3，x＋y＝0，得x＝3，y＝－3，即C(3，－3)．则BC＝5－(－3)＝8，点A到直线x＝3的距离d＝3－(－1)＝4，故S△ABC＝12×8×4＝16.答案：162．(2018·南京、盐城一模)已知实数x，y满足x＋y－5≤0，2x－y＋2≥0，y≥0，则目标函数z＝x－y的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，作出直线y＝x，则当目标函数y＝x－z过点C(1,4)时，zmin＝－3.答案：－33．(2019·泰州中学高三学情调研)已知点P(x，y)满足x＋y≤4，y≥x，x≥1，则z＝yx的最大值为________．解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．z＝yx表示过平面区域的点(x，y)与(0,0)的直线的斜率，由图知当直线过点A时斜率最大，由x＝1，x＋y＝4，得A(1,3)，显然直线过点A(1,3)时，z取得最大值，zmax＝3.答案：34．(2019·四川德阳月考)设变量x，y满足x－y＋1≥0，x＋y－3≥0，2x－y－3≤0，则目标函数z＝2x＋3y的最大值为________．解析：由约束条件x－y＋1≥0，x＋y－3≥0，2x－y－3≤0作出可行域如图中阴影部分，由x－y＋1＝0，2x－y－3＝0解得x＝4，y＝5，则B(4,5)，将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－23x＋z3.由图可知，当直线y＝－23x＋z3过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，为2×4＋3×5＝23.答案：235．(2018·昆山期中)若点(a,1)在直线y＝－2x＋2的下方，则实数a的取值范围是________．解析：因为直线y＝－2x＋2下方的点的坐标满足不等式y＜－2x＋2，又点(a,1)在直线y＝－2x＋2的下方，所以1＜－2a＋2，解得a＜12.答案：－∞，126．(2018·昆明七校调研)已知实数x，y满足x－y＋5≥0，x≤4，x＋y≥0.则z＝x＋3y的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8.答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·苏州期末)已知实数x，y满足y≤x－1，x≤3，x＋y≥4，则目标函数z＝2x－y的最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，平移直线2x－y＝0，当直线过点A时，z＝2x－y取得最大值，联立x＝3，x＋y＝4，得A(3,1)，所以zmax＝5.答案：52．(2019·宿迁调研)已知点P(x，y)在不等式组x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0所表示的平面区域内运动，则x2＋y2的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.x2＋y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点O的距离，由图知，点O(0,0)到直线x＋2y－2＝0的距离是x2＋y2的最小值，其最小值为|－2|1＋22＝255.答案：2553．(2018·徐州二模)若不等式组x＋3y≥4，3x＋y≤4，x≥0所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中△ABC所示，解x＋3y＝4，3x＋y＝4，得A(1,1)，易得B(0,4)，C0，43，又直线y＝kx＋43过点C且把△ABC的面积平分，所以直线y＝kx＋43过AB的中点D12，52，所以k＝52－4312＝73.答案：734．(2018·湖南东部六校联考)实数x，y满足x≥a，y≥x，x＋y≤2(a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a＝______.解析：如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，所以12a＝3，即a＝14.答案：145．(2019·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，则混合物质量的最小值为________kg.解析：由题意，设混合物中甲为xkg，乙为ykg，混合物为z＝x＋y，则得约束条件3x＋4y≥100，5x＋2y≥120，x＞0，y＞0，作出其平面区域如图所示，平移直线x＋y＝0，可知当直线经过点A时，z取得最小值．由3x＋4y＝100，5x＋2y＝120，解得x＝20，y＝10，即A(20,10)，所以zmin＝x＋y＝30.答案：306．已知实数x，y满足约束条件x＋y≥3，y≤3，x≤3，则z＝5－(x2＋y2)的最大值为________．解析：作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，求目标函数z＝5－(x2＋y2)的最大值，即求x2＋y2的最小值．由几何意义知就是求可行域内的点P(x，y)到原点距离的最小值．易知点O到直线x＋y－3＝0的距离最短，为322，所以zmax＝5－3222＝12.答案：127．(2019·靖江模拟)x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，将z＝y－ax化为y＝ax＋z，z相当于直线y＝ax＋z的纵截距，由题意可得，当y＝ax＋z与2x－y＋2＝0或与x＋y－2＝0平行时符合题意，故a＝2或－1.答案：2或－18．(2018·启东中学测试)已知变量x，y满足约束条件x＋y－1≤0，x－y－1≤0，x－a≥0，若yx－2≤12恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，yx－2表示区域内的点(x，y)与定点A(2,0)连线的斜率k，由图易知BC与y轴重合时，|k|≤kAC＝12，此时a＝0，当BC向右移动时，|k|≤kAC＜12，此时a≤1，综上，a∈[0,1]．答案：[0,1]9．已知x，y满足条件7x－5y－23≤0，x＋7y－11≤0，4x＋y＋10≥0.(1)求u＝x－2y的最大值和最小值；(2)求z＝yx＋5的最大值和最小值．解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．(1)由7x－5y－23＝0，4x＋y＋10＝0得点B的坐标为(－1，－6)，由x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0得点C的坐标为(－3,2)，平移直线u＝x－2y可知，直线过C点时，z取最小值，过B点时，z取最大值．所以umin＝－3－2×2＝－7，umax＝－1－2×(－6)＝11.(2)z＝yx＋5＝y－0x－－，求z的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x，y)与点(－5,0)连线斜率k的最大值和最小值．设点M的坐标为(－5,0)，由(1)知点B的坐标为(－1，－6)，点C的坐标为(－3,2)，所以kmax＝kMC＝2－0－3－－＝1，kmin＝kMB＝－6－0－1－－＝－32，所以yx＋5的最大值是1，最小值是－32.10．(2019·苏北四市调研)已知x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝2y＋1x＋1的取值范围．解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，并求出顶点坐标分别为A(3,1)，B(1,3)，C(7，9)．(1)作出直线x＋2y＝0，平移该直线，当直线经过点C时，z取得最大值，zmax＝7＋2×9－4＝21.(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，由图知点M到直线x－y＋2＝0的距离的平方为所求z的最小值，所以zmin＝|－5＋2|22＝92.(3)z＝2y＋1x＋1＝2·y＋12x＋1的几何意义是可行域内的动点P(x，y)与定点D－1，－12连线斜率的2倍．由图象可知，kDB＝74，kDA＝38，即38≤k≤74，所以34≤z≤72，故z的取值范围是34，72.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)已知变量x，y满足x≥2，x＋y≤4，2x－y≤c，目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则c的值为________．解析：作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A时，z取得最小值．联立3x＋y＝5，x＝2，解得A(2，－1)，代入y＝2x－c，得c＝5.答案：52．(2018·南通调研)已知变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.若z＝x2＋y2，则z的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．联立x＝1，x－4y＋3＝0得C(1,1)．联立3x＋5y－25＝0，x－4y＋3＝0得B(5,2)．z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝OC＝2，dmax＝OB＝29，故z的取值范围是[2,29]．答案：[2,29]3．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解：设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，则5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋2y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．把z＝3x＋2y变形为y＝－32x＋z2，得到斜率为－32，在y轴上的截距为z2，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y＝－32x＋z2经过可行域上的点A时，截距z2最小，即z最小．由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35得A145，3，所以zmin＝3×145＋2×3＝725.所以当使用甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)时，费用最省．