（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十三）正弦定理和余弦定理 理（含解析）苏教版

课时跟踪检测（二十三）正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·泰州模拟)在△ABC中，BC＝3，B－A＝π2，且cosB＝－35，则AC＝________.解析：∵B－A＝π2，∴cosB＝cosA＋π2＝－sinA＝－35，∴sinA＝35，sinB＝45.∴由正弦定理，得AC＝BC·sinBsinA＝3×4535＝4.答案：42．(2018·姜堰中学测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋14c2，则acosBc＝________.解析：由已知及余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－a2－14c22ac＝5c8a，所以acosBc＝58.答案：583．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝23，则b＝________.解析：bsinA＝3csinB⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－2×3×1×23＝6，b＝6.答案：64．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为________．解析：由题意得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝12，所以sinA＝1－122＝32，所以边AC上的高h＝ABsinA＝332.答案：3325．(2019·如东调研)设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＝23，c＝3，C＝2π3，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－ab，即9＝12－ab，故ab＝3，则S△ABC＝12absinC＝334.答案：3346．(2018·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是________．解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°＜α＜30°.由正弦定理得m＝－αsinα＝32·1tanα＋12＞32×3＋12＝2.答案：(2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC中，2acosA＋bcosC＋ccosB＝0，则角A的大小为________．解析：由余弦定理得2acosA＋b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝0，即2acosA＋a＝0，所以cosA＝－12，A＝120°.答案：120°2．(2018·海门中学检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC的面积为________．解析：依题意得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，即C＝60°，因此△ABC的面积等于12absinC＝12×3×32＝34.答案：343．(2019·镇江调研)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a＝13，c＝4，则b＝________.解析：∵A＝60°，a＝13，c＝4，∴由余弦定理，得13＝b2＋16－8bcos60°，即b2－4b＋3＝0，解得b＝1或3.答案：1或34．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA，则角B的大小为____．解析：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA得(b－c)(b＋c)＝(a－3c)a，即b2－c2＝a2－3ac，所以a2＋c2－b2＝3ac，又因为cosB＝a2＋c2－b22ac，所以cosB＝32，所以B＝30°.答案：30°5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝π3，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于________．解析：由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sinπ3＝3，又B∈(0，π)，所以B＝π3.故A＝B＝π3，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×1×1×32＝34.答案：346．(2019·无锡调研)在△ABC中，C＝π3，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，则AB＝________.解析：∵a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，∴a＋b＝13，ab＝40，由余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝132－3×40＝49，则AB＝7.答案：77．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝________.解析：因为asinAsinB＋bcos2A＝2a，由正弦定理得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，所以sinB＝2sinA，所以ba＝sinBsinA＝2.答案：28．(2019·苏州一模)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，则ab＋c＋ca＋b的值为________．解析：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，故ab＋c＋ca＋b＝aa＋b＋cb＋cb＋ca＋b＝a2＋ab＋bc＋c2b2＋ac＋bc＋ab＝a2＋ab＋bc＋c2a2＋c2－ac＋ac＋bc＋ab＝a2＋ab＋bc＋c2a2＋c2＋bc＋ab＝1.答案：19．(2018·苏锡常镇调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acosB＝3，bcosA＝1，且A－B＝π6.(1)求c的长；(2)求B的大小．解：(1)法一：在△ABC中，acosB＝3，由余弦定理，得a·a2＋c2－b22ac＝3，即a2＋c2－b2＝6c.①由bcosA＝1，得b·b2＋c2－a22bc＝1，即b2＋c2－a2＝2c.②①＋②得2c2＝8c，所以c＝4.法二：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，则sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理，得sinA＝asinCc，sinB＝bsinCc，代入上式得，c＝acosB＋bcosA＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得acosBbcosA＝sinAcosBsinBcosA＝tanAtanB＝3.又tan(A－B)＝tanA－tanB1＋tanAtanB＝2tanB1＋3tan2B＝33，解得tanB＝33，又B∈(0，π)，所以B＝π6.10．(2019·盐城期中)在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且sinπ4－C＋sinπ4＋C＝22.(1)求角C的大小；(2)若c＝33且sinA＝2sinB，求△ABC的面积．解：(1)由sinπ4－C＋sinπ4＋C＝22，得22(cosC－sinC)＋22(cosC＋sinC)＝22，∴cosC＝12，又0＜C＜π，∴C＝π3.(2)由c＝33且sinA＝2sinB，可得a＝2b，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4b2＋b2－4b2×12＝3b2＝27，∴b＝3，a＝6，则△ABC的面积为S＝12absinC＝12×6×3×32＝932.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin2A，且c＝7，C＝π3，则△ABC的面积是________．解析：由sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin2A，得2sinBcosA＝6sinAcosA，所以cosA＝0或sinB＝3sinA.若cosA＝0，则A＝π2，在Rt△ABC中，C＝π3，所以b＝ctanC＝213，此时△ABC的面积S＝12bc＝12×213×7＝736；若sinB＝3sinA，即b＝3a，由余弦定理得7＝a2＋9a2－2·a·3a·12，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积S＝12absinC＝12×1×3×32＝334.答案：334或7362．(2019·苏州高三期中调研)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝2，则△ABC面积的最大值是________．解析：由b＝acosC＋csinA及正弦定理可得sinB＝sinAcosC＋sinCsinA，所以sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCsinA，化简可得sinA＝cosA，所以A＝π4.在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝2＝b2＋c24－2b·c2·cosA≥bc－22bc，当且仅当b＝c2时取“＝”，所以bc≤4＋22，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝24bc≤2＋1，所以△ABC面积的最大值是2＋1.答案：2＋13．(2018·苏州模拟)如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos∠B＝33.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝23，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cos∠B＝33，所以cos∠D＝cos2∠B＝2cos2B－1＝－13.因为∠D∈(0，π)，所以sin∠D＝1－cos2D＝223.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD·CD·sin∠D＝12×1×3×223＝2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，所以AC＝23.因为BC＝23，ACsin∠B＝ABsin∠ACB，所以23sin∠B＝AB－2∠B＝ABsin2∠B＝AB2sin∠Bcos∠B＝AB233sin∠B，所以AB＝4.