课时跟踪检测(二十二)简单的三角恒等变换一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2018·东台期末)已知α∈(0,π),tanα=2,则cos2α+cosα=________.解析:由α∈(0,π),tanα=2=sinαcosα,得α为锐角,结合sin2α+cos2α=1,可得sinα=255,cosα=55,∴cos2α+cosα=2cos2α-1+cosα=2×15-1+55=5-35.答案:5-352.(2018·苏州高三期中调研)已知tanα-π4=2,则cos2α=________.解析:cos2α=sinπ2-2α=2sinπ4-αcosπ4-α=2sinπ4-αcosπ4-αsin2π4-α+cos2π4-α=2tanπ4-αtan2π4-α+1=-45.答案:-453.(2018·通州期末)已知cosα+π6=13,则sin5π6+2α=________.解析:∵cosα+π6=13,∴sin5π6+2α=sin2α+π3+π2=cos2α+π3=2cos2α+π6-1=2×132-1=-79.答案:-794.化简:cos40°cos25°1-sin40°=________.解析:原式=cos220°-sin220°-=cos20°+sin20°cos25°=2cos25°cos25°=2.答案:25.已知tan(3π-x)=2,则2cos2x2-sinx-1sinx+cosx=________.解析:由诱导公式得tan(3π-x)=-tanx=2,故2cos2x2-sinx-1sinx+cosx=cosx-sinxsinx+cosx=1-tanxtanx+1=-3.答案:-36.(2019·宜兴检测)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足4cos2A2-cos2(B+C)=72,则角A的大小为________.解析:由4cos2A2-cos2(B+C)=72,得2(1+cosA)-cos2(π-A)=72,化简得4cos2A-4cosA+1=0,解得cosA=12,∵0<A<π,故A=π3.答案:π3二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·金陵中学检测)已知sinπ6-α=cosπ6+α,则cos2α=________.解析:因为sinπ6-α=cosπ6+α,所以12cosα-32sinα=32cosα-12sinα,即12-32sinα=-12-32cosα,所以tanα=sinαcosα=-1,所以cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2αtan2α+1=0.答案:02.(2019·苏州中学模拟)已知α∈π2,π,sinα-π2=35,则tan2α=________.解析:由sinα-π2=-cosα=35,可得cosα=-35.又α∈π2,π,∴sinα=45,tanα=sinαcosα=-43,∴tan2α=2tanα1-tan2α=247.答案:2473.(2018·通州期中)计算:tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°=________.解析:tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3-3tan20°tan40°+3tan20°tan40°=3.答案:34.已知tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的两根,且α,β∈-π2,π2,则α+β=________.解析:由题意得tanα+tanβ=-33<0,tanαtanβ=4>0,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3,且tanα<0,tanβ<0,又α,β∈-π2,π2,故α,β∈-π2,0,所以α+β∈(-π,0),所以α+β=-2π3.答案:-2π35.(2019·如东中学月考)已知cosα+π4=35,π2≤α≤3π2,则cos2α+π4=________.解析:∵π2≤α≤3π2,cosα+π4=35>0,∴3π2<α+π4≤7π4,∴sinα+π4=-1-352=-45,∴sinα=sinα+π4-π4=22sinα+π4-22cosα+π4=-7210,cosα=-1-sin2α=-210,∴cos2α=2cos2α-1=-2425,sin2α=2sinαcosα=725,则cos2α+π4=22cos2α-22sin2α=-31250.答案:-312506.已知cos(α+β)=16,cos(α-β)=13,则tanαtanβ的值为________.解析:因为cos(α+β)=16,所以cosαcosβ-sinαsinβ=16.①因为cos(α-β)=13,所以cosαcosβ+sinαsinβ=13.②①+②得cosαcosβ=14.②-①得sinαsinβ=112.所以tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=13.答案:137.若tanα+1tanα=103,α∈π4,π2,则sin2α+π4=________.解析:由tanα+1tanα=103,得sinαcosα+cosαsinα=103,所以1sinαcosα=103,所以sin2α=35.因为α∈π4,π2,所以2α∈π2,π,所以cos2α=-45.所以sin2α+π4=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4=22×35-45=-210.答案:-2108.(2019·南京模拟)若tanα+1tanα=103,α∈π4,π2,则sin2α+π4+2cosπ4cos2α的值为________.解析:∵tanα+1tanα=103,α∈π4,π2,∴tanα=3或tanα=13(舍去),则sin2α+π4+2cosπ4cos2α=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4+2·1+cos2α2=22sin2α+2cos2α+22=22·2sinαcosαsin2α+cos2α+2·cos2α-sin2αsin2α+cos2α+22=22·2tanαtan2α+1+2·1-tan2αtan2α+1+22=22×69+1+2×1-91+9+22=0.答案:09.(2018·南通调研)已知sinα+π4=210,α∈π2,π.求:(1)cosα的值;(2)sin2α-π4的值.解:(1)因为α∈π2,π,所以α+π4∈3π4,5π4,又sinα+π4=210,所以cosα+π4=-1-sin2α+π4=-1-2102=-7210.所以cosα=cosα+π4-π4=cosα+π4cosπ4+sinα+π4sinπ4=-7210×22+210×22=-35.(2)因为α∈π2,π,cosα=-35,所以sinα=1-cos2α=1--352=45.所以sin2α=2sinαcosα=2×45×-35=-2425,cos2α=2cos2α-1=2×-352-1=-725.所以sin2α-π4=sin2αcosπ4-cos2αsinπ4=-2425×22--725×22=-17250.10.(2019·扬州调研)已知cosα+π4=210,α∈0,π2.(1)求sinα的值;(2)若cosβ=13,β∈(0,π),求cos(α-2β)的值.解:(1)∵cosα+π4=210,α∈0,π2,∴sinα+π4=1-cos2α+π4=7210,∴sinα=sinα+π4-π4=sinα+π4cosπ4-cosα+π4sinπ4=7210×22-210×22=35.(2)由(1)知cosα=1-sin2α=45,∵cosβ=13,β∈(0,π),∴sinβ=1-cos2β=223,∴cos2β=2cos2β-1=-79,sin2β=2sinβcosβ=2×223×13=429,∴cos(α-2β)=cosαcos2β+sinαsin2β=45×-79+35×429=122-2845.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2018·启东高三测试)若sin2α=2cosπ4-α,则sin2α=________.解析:因为sin2α=2cosπ4-α,所以sin22α=4cos2π4-α,即sin22α=4×1+cosπ2-2α2,所以sin22α=2(1+sin2α),解得sin2α=1±3,显然sin2α=1+3不成立,所以sin2α=1-3.答案:1-32.化简:cosπ11cos2π11cos3π11cos4π11cos5π11=________.解析:原式=-cosπ11cos2π11cos8π11cos4π11cos5π11=-2sinπ11cosπ11cos2π11cos4π11cos8π11cos5π112sinπ11=-18·sin16π11cos5π112sinπ11=sin5π11cos5π1116sinπ11=12sin10π1116sinπ11=132.答案:1323.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,3).(1)求sin2α-tanα的值;(2)若函数f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα,求函数g(x)=3fπ2-2x-2f2(x)在区间0,2π3上的值域.解:(1)因为角α的终边经过点P(-3,3),所以sinα=12,cosα=-32,tanα=-33.所以sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-32+33=-36.(2)因为f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα=cosx,x∈R,所以g(x)=3cosπ2-2x-2cos2x=3sin2x-1-cos2x=2sin2x-π6-1,因为0≤x≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6.所以-12≤sin2x-π6≤1,所以-2≤2sin2x-π6-1≤1,故函数g(x)=3fπ2-2x-2f2(x)在区间0,2π3上的值域是[-2,1].