（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十二）简单的三角恒等变换 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（二十二）简单的三角恒等变换一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tanα＝2，则cos2α＋cosα＝________.解析：由α∈(0，π)，tanα＝2＝sinαcosα，得α为锐角，结合sin2α＋cos2α＝1，可得sinα＝255，cosα＝55，∴cos2α＋cosα＝2cos2α－1＋cosα＝2×15－1＋55＝5－35.答案：5－352．(2018·苏州高三期中调研)已知tanα－π4＝2，则cos2α＝________.解析：cos2α＝sinπ2－2α＝2sinπ4－αcosπ4－α＝2sinπ4－αcosπ4－αsin2π4－α＋cos2π4－α＝2tanπ4－αtan2π4－α＋1＝－45.答案：－453．(2018·通州期末)已知cosα＋π6＝13，则sin5π6＋2α＝________.解析：∵cosα＋π6＝13，∴sin5π6＋2α＝sin2α＋π3＋π2＝cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝2×132－1＝－79.答案：－794．化简：cos40°cos25°1－sin40°＝________.解析：原式＝cos220°－sin220°－＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°cos25°＝2.答案：25．已知tan(3π－x)＝2，则2cos2x2－sinx－1sinx＋cosx＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tanx＝2，故2cos2x2－sinx－1sinx＋cosx＝cosx－sinxsinx＋cosx＝1－tanxtanx＋1＝－3.答案：－36．(2019·宜兴检测)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足4cos2A2－cos2(B＋C)＝72，则角A的大小为________．解析：由4cos2A2－cos2(B＋C)＝72，得2(1＋cosA)－cos2(π－A)＝72，化简得4cos2A－4cosA＋1＝0，解得cosA＝12，∵0＜A＜π，故A＝π3.答案：π3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金陵中学检测)已知sinπ6－α＝cosπ6＋α，则cos2α＝________.解析：因为sinπ6－α＝cosπ6＋α，所以12cosα－32sinα＝32cosα－12sinα，即12－32sinα＝－12－32cosα，所以tanα＝sinαcosα＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝0.答案：02．(2019·苏州中学模拟)已知α∈π2，π，sinα－π2＝35，则tan2α＝________.解析：由sinα－π2＝－cosα＝35，可得cosα＝－35.又α∈π2，π，∴sinα＝45，tanα＝sinαcosα＝－43，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝247.答案：2473．(2018·通州期中)计算：tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝________.解析：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案：34．已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________.解析：由题意得tanα＋tanβ＝－33＜0，tanαtanβ＝4＞0，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，且tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈－π2，π2，故α，β∈－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3.答案：－2π35．(2019·如东中学月考)已知cosα＋π4＝35，π2≤α≤3π2，则cos2α＋π4＝________.解析：∵π2≤α≤3π2，cosα＋π4＝35＞0，∴3π2＜α＋π4≤7π4，∴sinα＋π4＝－1－352＝－45，∴sinα＝sinα＋π4－π4＝22sinα＋π4－22cosα＋π4＝－7210，cosα＝－1－sin2α＝－210，∴cos2α＝2cos2α－1＝－2425，sin2α＝2sinαcosα＝725，则cos2α＋π4＝22cos2α－22sin2α＝－31250.答案：－312506．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tanαtanβ的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝13.②①＋②得cosαcosβ＝14.②－①得sinαsinβ＝112.所以tanαtanβ＝sinαsinβcosαcosβ＝13.答案：137．若tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin2α＋π4＝________.解析：由tanα＋1tanα＝103，得sinαcosα＋cosαsinα＝103，所以1sinαcosα＝103，所以sin2α＝35.因为α∈π4，π2，所以2α∈π2，π，所以cos2α＝－45.所以sin2α＋π4＝sin2αcosπ4＋cos2αsinπ4＝22×35－45＝－210.答案：－2108．(2019·南京模拟)若tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin2α＋π4＋2cosπ4cos2α的值为________．解析：∵tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，∴tanα＝3或tanα＝13(舍去)，则sin2α＋π4＋2cosπ4cos2α＝sin2αcosπ4＋cos2αsinπ4＋2·1＋cos2α2＝22sin2α＋2cos2α＋22＝22·2sinαcosαsin2α＋cos2α＋2·cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＋22＝22·2tanαtan2α＋1＋2·1－tan2αtan2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0.答案：09．(2018·南通调研)已知sinα＋π4＝210，α∈π2，π.求：(1)cosα的值；(2)sin2α－π4的值．解：(1)因为α∈π2，π，所以α＋π4∈3π4，5π4，又sinα＋π4＝210，所以cosα＋π4＝－1－sin2α＋π4＝－1－2102＝－7210.所以cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝－7210×22＋210×22＝－35.(2)因为α∈π2，π，cosα＝－35，所以sinα＝1－cos2α＝1－－352＝45.所以sin2α＝2sinαcosα＝2×45×－35＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝2×－352－1＝－725.所以sin2α－π4＝sin2αcosπ4－cos2αsinπ4＝－2425×22－－725×22＝－17250.10．(2019·扬州调研)已知cosα＋π4＝210，α∈0，π2.(1)求sinα的值；(2)若cosβ＝13，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值．解：(1)∵cosα＋π4＝210，α∈0，π2，∴sinα＋π4＝1－cos2α＋π4＝7210，∴sinα＝sinα＋π4－π4＝sinα＋π4cosπ4－cosα＋π4sinπ4＝7210×22－210×22＝35.(2)由(1)知cosα＝1－sin2α＝45，∵cosβ＝13，β∈(0，π)，∴sinβ＝1－cos2β＝223，∴cos2β＝2cos2β－1＝－79，sin2β＝2sinβcosβ＝2×223×13＝429，∴cos(α－2β)＝cosαcos2β＋sinαsin2β＝45×－79＋35×429＝122－2845.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东高三测试)若sin2α＝2cosπ4－α，则sin2α＝________.解析：因为sin2α＝2cosπ4－α，所以sin22α＝4cos2π4－α，即sin22α＝4×1＋cosπ2－2α2，所以sin22α＝2(1＋sin2α)，解得sin2α＝1±3，显然sin2α＝1＋3不成立，所以sin2α＝1－3.答案：1－32．化简：cosπ11cos2π11cos3π11cos4π11cos5π11＝________.解析：原式＝－cosπ11cos2π11cos8π11cos4π11cos5π11＝－2sinπ11cosπ11cos2π11cos4π11cos8π11cos5π112sinπ11＝－18·sin16π11cos5π112sinπ11＝sin5π11cos5π1116sinπ11＝12sin10π1116sinπ11＝132.答案：1323．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，3)，所以sinα＝12，cosα＝－32，tanα＝－33.所以sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36.(2)因为f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，所以g(x)＝3cosπ2－2x－2cos2x＝3sin2x－1－cos2x＝2sin2x－π6－1，因为0≤x≤2π3，所以－π6≤2x－π6≤7π6.所以－12≤sin2x－π6≤1，所以－2≤2sin2x－π6－1≤1，故函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的值域是[－2,1]．