(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测(二十)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应

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课时跟踪检测(二十)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.y=2sin2x-π4的初相为________.答案:-π42.函数f(x)=3sinx2-π4,x∈R的最小正周期为________.解析:最小正周期为T=2π12=4π.答案:4π3.(2018·苏州高三期中调研)函数y=sin(2x+φ)0<φ<π2图象的一条对称轴是x=π12,则φ=________.解析:当x=π12时,函数y=sin(2x+φ)0<φ<π2取得最值,所以π6+φ=kπ+π2,k∈Z,解得φ=kπ+π3,k∈Z,又0<φ<π2,所以φ=π3.答案:π34.已知函数f(x)=sin12x+φ||φ<π2,x=π3为f(x)的图象的一条对称轴,将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为________.解析:∵x=π3为f(x)的图象的一条对称轴,∴π6+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ+π3,k∈Z.又|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=sin12x+π3.将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到g(x)=sin12x+π6+π3=sinx2+5π12的图象.答案:g(x)=sinx2+5π125.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为π2,则fπ6=________.解析:由题意可知该函数的周期为π2,所以πω=π2,ω=2,f(x)=tan2x.所以fπ6=tanπ3=3.答案:36.(2018·启东中学检测)在函数y=-2sin4x+2π3的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是________.解析:当y=0时,sin4x+2π3=0,所以4x+2π3=kπ,k∈Z,所以x=k4π-π6,k∈Z,取k=0,则x=-π6,取k=1,则x=π12,所以离原点最近的交点坐标π12,0.答案:π12,0二保高考,全练题型做到高考达标1.振动量y=2sin(ωx+φ)的频率为32,则ω=________.解析:因为y=2sin(ωx+φ)的频率为32,所以其周期T=23,所以ω=2π23=3π.答案:3π2.(2018·南通一模)在平面直角坐标系xOy中,将函数y=sin2x+π3的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度.若平移后得到的图象经过坐标原点,则φ的值为________.解析:将函数y=sin2x+π3的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度,得到函数y=sin2x-2φ+π3的图象.∵平移后得到的图象经过坐标原点,且0<φ<π2,∴-2φ+π3=0,解得φ=π6.答案:π63.函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,如果x1,x2∈-π6,π3,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=________.解析:由图可知,T2=π3--π6=π2,则T=π,ω=2,又因为-π6+π32=π12,所以f(x)的图象过点π12,1,即sin2×π12+φ=1,得φ=π3,所以f(x)=sin2x+π3.而x1+x2=-π6+π3=π6,所以f(x1+x2)=fπ6=sin2×π6+π3=sin2π3=32.答案:324.(2019·启东中学检测)将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,则φ的最大值是________.解析:将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度,得到函数g(x)=2sin2x+π3+φ=2sin2x+2π3+φ的图象.∵g(x)是偶函数,∴2π3+φ=π2+kπ,k∈Z,∴φ=-π6+kπ,k∈Z.又φ<0,∴φ的最大值是-π6.答案:-π65.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则f(1)=________.解析:由题意得,A=3,T=4=2πω,ω=π2.又因为f(x)=Acos(ωx+φ)为奇函数,所以φ=π2+kπ,k∈Z,取k=0,则φ=π2,所以f(x)=-3sinπ2x,所以f(1)=-3.答案:-36.若函数f(x)=3sinωx-π3(ω>0)的最小正周期为π2,则fπ3=________.解析:由f(x)=3sinωx-π3(ω>0)的最小正周期为π2,得ω=4.所以fπ3=3sin4×π3-π3=0.答案:07.已知函数f(x)=3sinωx-π6(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象完全相同,若x∈0,π2,则f(x)的值域是________.解析:f(x)=3sinωx-π6=3cosπ2-ωx-π6=3cosωx-2π3,易知ω=2,则f(x)=3sin2x-π6,因为x∈0,π2,所以-π6≤2x-π6≤5π6,所以-32≤f(x)≤3.答案:-32,38.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立,且fπ2>f(π),则f(x)的单调递增区间是________.解析:因为f(x)≤fπ6对x∈R恒成立,即fπ6=sinπ3+φ=1,所以φ=kπ+π6(k∈Z).因为fπ2>f(π),所以sin(π+φ)>sin(2π+φ),即sinφ<0,所以φ=-5π6+2kπ(k∈Z),所以f(x)=sin2x-5π6,所以由三角函数的单调性知2x-5π6∈2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z),解得x∈kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).答案:kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)9.(2019·连云港调研)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,点Pπ6,2为其图象上一个最高点.(1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)图象上所有点都向左平移π3个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)在区间π2,π上的值域.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期为π,所以2πω=π,解得ω=2.又点Pπ6,2为其图象上一个最高点,所以A=2,sinπ3+φ=1,又-π2<φ<π2,所以φ=π6,所以f(x)=2sin2x+π6.(2)由题意得g(x)=fx+π3=2sin2x+π3+π6=2sin2x+5π6,当x∈π2,π时,2x+5π6∈11π6,17π6,所以sin2x+5π6∈-12,1,2sin2x+5π6∈(-1,2],故g(x)在区间π2,π上的值域为(-1,2].10.已知函数f(x)=sinωxcosωx+3cos2ωx-32(ω>0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间0,π2上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.解:(1)f(x)=12sin2ωx+32(2cos2ωx-1)=12sin2ωx+32cos2ωx=sin2ωx+π3,由题意知,最小正周期T=2×π4=π2,T=2π2ω=πω=π2,所以ω=2,所以f(x)=sin4x+π3.(2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后,得到y=sin4x-π6的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin2x-π6的图象,所以g(x)=sin2x-π6.令2x-π6=t,若0≤x≤π2,则-π6≤t≤5π6.因为g(x)+k=0在区间0,π2上有且只有一个实数解,即函数y=sint与y=-k在区间-π6,5π6上有且只有一个交点,作出函数y=sint的图象如图所示.由正弦函数的图象可知-12≤-k<12或-k=1.所以-12<k≤12或k=-1.所以实数k的取值范围为-12,12∪{-1}.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知函数f(x)=2sin2x-π3-1在区间[a,b](a,b∈R,且a<b)上至少含有10个零点,在所有满足条件的[a,b]中,b-a的最小值为________.解析:要使b-a最小,则f(x)在区间[a,b]上零点个数恰好是10,由函数f(x)的图象可知,一个周期内只有2个零点,且两个零点之间的最小间隔为π3,所以满足条件的b-a的最小值为π3+4π=13π3.答案:13π32.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(33,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2.则下列叙述正确的是________.①R=6,ω=π30,φ=-π6;②当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6;③当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减;④当t=20时,|PA|=63.解析:①由点A(33,-3),可得R=6,由旋转一周用时60秒,可得T=2πω=60,则ω=π30,由点A(33,-3),可得∠AOx=π6,则φ=-π6,故①正确;②由①知,f(t)=6sinπ30t-π6,当t∈[35,55]时,π30t-π6∈π,5π3,即当π30t-π6=3π2时,点P(0,-6),点P到x轴的距离的最大值为6,故②正确;③当t∈[10,25]时,π30t-π6∈π6,2π3,由正弦函数的单调性可知,函数y=f(t)在[10,25]上有增有减,故③错误;④f(t)=6sinπ30t-π6,当t=20时,水车旋转了三分之一周期,则∠AOP=2π3,所以|PA|=63,故④正确.答案:①②④3.(2019·如皋中学模拟)如图,在海岸线EF一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC,该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,π)),x∈[-4,0]的图象,图象的最高点为B(-1,2).边界的中间部分为长1km的直线段CD,且CD∥EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE.(1)求曲线段FGBC的函数表达式;(2)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF的最近距离为1km,现准备从入口G修一条笔直的景观路到O,求景观路GO的长;(3)如图,在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ,平行四边形的一边在海岸线EF上,一边在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧DE上,且∠POE=θ,求平行四边形休闲区O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