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课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·张家港外国语学校检测)命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是________________________．答案：若x≠3，则x2－4x＋3≠02．(2019·苏州实验中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.命题甲：A＋C＝2B，且a＋c＝2b；命题乙：△ABC是正三角形，则命题甲是命题乙的________条件．答案：充要3．“m＝3”是“两直线l1：mx＋3y＋2＝0和l2：x＋(m－2)y＋m－1＝0平行”的________条件．答案：充要4．(2018·南京模拟)有下列命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为__________．解析：由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}，所以a≤5.答案：(－∞，5]6．(2018·苏州中学检测)已知集合A＝{x|x(x－3)＜0}，B＝{x||x－1|＜2}，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．解析：因为集合A＝(0,3)，集合B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．答案：充分不必要二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”2．(2018·南通中学高三测试)已知a，b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的________条件．解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的圆心为(a，b)，半径r＝2，直线x＋y＝0与圆相切，则圆心到直线的距离d＝|a＋b|1＋1＝2，解得|a＋b|＝2.即a＋b＝±2，所以p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要3．(2018·南通模拟)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的___________条件．解析：因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，此时loga3＜logb3；反之，若loga3＜logb3，则不一定得到3a＞3b＞3，例如当a＝12，b＝13时，loga3＜logb3成立，但推不出a＞b＞1.故“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·无锡一中检测)给出下列说法：①“若x＋y＝π2，则sinx＝cosy”的逆命题是假命题；②“在△ABC中，sinB＞sinC是B＞C的充要条件”是真命题；③x≤3是|x|≤3的充分不必要条件；④命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x＋y＝π2，则sinx＝cosy”的逆命题是“若sinx＝cosy，则x＋y＝π2”，当x＝0，y＝3π2时，有sinx＝cosy成立，但x＋y＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sinB＞sinC⇔b＞c⇔B＞C，②正确；对于③，因为|xx≤3，所以x≤3是|x|≤3的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④5．(2018·南通一中高三测试)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．因为p是q的充分不必要条件，所以MN，所以a＞0，a＋1＜4，解得0＜a＜3.答案：(0,3)6．设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p是q的________条件．解析：p表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分7．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2＞－3，但22＜32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2＞(－2)2，但－3＜2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．(2018·常熟中学测试)给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．其中真命题的序号是________．解析：①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．答案：①②④9．(2018·天一中学期末)已知p：|x－1|＞2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析：由|x－1|＞2，得x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1.由x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，得[x－(1－a)][x－(1＋a)]≥0，即x≥1＋a或x≤1－a，a＞0.若q是p的必要不充分条件，则a＞0，1＋a≤3，1－a≥－1，解得0＜a≤2.答案：(0,2]10．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件．解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，又S4＝2S2，所以a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，所以a3＋a4＝a1＋a2，所以q2＝1⇔|q|＝1，所以“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件．答案：充要11．(2019·南师大附中检测)设p：实数x满足x2＋2ax－3a2＜0(a＞0)，q：实数x满足x2＋2x－8＜0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．解：由x2＋2ax－3a2＜0(a＞0)，得－3a＜x＜a，即p：－3a＜x＜a.由x2＋2x－8＜0，得－4＜x＜2，即q：－4＜x＜2.因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以p能推出q，q不能推出p，所以{x|－3a＜x＜ax|－4＜x＜2}，即－3a≥－4，a＜2，a＞0或－3a＞－4，a≤2，a＞0，解得0＜a≤43，故a的取值范围是0，43.12．已知集合A＝xmx－1x＜0，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|log12x＞1}，命题p：实数m为小于6的正整数，q：A是B成立的充分不必要条件，r：A是C成立的必要不充分条件．若命题p，q，r都是真命题，求实数m的值．解：因为命题p是真命题，所以0＜m＜6，m∈N，①所以A＝xmx－1x＜0＝x0＜x＜1m.由题意知，B＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}，C＝x|log12x＞1＝x0＜x＜12.因为命题q，r都是真命题，所以AB，CA，所以1m≤4，1m＞12.②由①②得m＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的________条件．解析：当等比数列{an}的首项a1＜0，公比q＞1时，如an＝－2n是递减数列，所以充分性不成立；反之，若等比数列{an}为递增数列，则a1＜0，0＜q＜1或a1＞0，q＞1，所以必要性不成立，即“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要2．(2018·苏州木渎中学测试)若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，由a＜0，Δ＝4a2＋12a≤0，得－3≤a＜0，综上，实数a的取值范围为[－3,0]．答案：[－3,0]3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．解：A＝{x|x2－6x＋8＜0}＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，要满足题意，则a≤2，3a≥4，解得43≤a≤2.当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，要满足题意，则3a≤2，a≥4，无解．综上，a的取值范围为43，2.(2)要满足A∩B＝∅，当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}则a≥4或3a≤2，即0＜a≤23或a≥4.当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，则a≤2或a≥43，即a＜0.当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅.综上，a的取值范围为－∞，23∪[4，＋∞)．