（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 板块命题点专练（十一）直线与圆的方程 文（含解析）苏教版

板板块块命命题题点点专专练练((十十一一))直直线线与与圆圆的的方方程程命题点一直线与方程、两条直线的位置关系1.(2017·北京高考)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．解析：依题意，x2＋y2可视为原点到线段x＋y－1＝0(x≥0，y≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2＋y2)min＝|－1|22＝12，(x2＋y2)max＝|OA|2＝|OB|2＝1，故x2＋y2∈12，1.答案：12，12．(2015·山东高考改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．解析：由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，解得k＝－43或k＝－34.答案：－43或－343．(2016·上海高考)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________．解析：由两平行线间的距离公式得d＝|－1－1|22＋12＝255.答案：255命题点二圆的方程、直线与圆的位置关系1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若PA―→·PB―→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．解析：设P(x，y)，则PA―→·PB―→＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．又点P在圆x2＋y2＝50上，由y＝2x＋5，x2＋y2＝50，解得x＝－5或x＝1，结合图象，可得－52≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－52，1]．答案：[－52，1]2．(2018·全国卷Ⅲ改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________．解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得dmax＝22＋r＝32，dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的最大值为12×|AB|×dmax＝6，△ABP面积的最小值为12×|AB|×dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．答案：[2,6]3．(2018·北京高考改编)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为________．解析：由题知点P(cosθ，sinθ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离21＋m2的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.答案：34．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22.答案：225．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为x22，12，可得BC的中垂线方程为y－12＝x2x－x22.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－m2.联立x＝－m2，y－12＝x2x－x22，x22＋mx2－2＝0，可得x＝－m2，y＝－12.所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为－m2，－12，半径r＝m2＋92.故圆在y轴上截得的弦长为2r2－m22＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．6．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA―→＋TP―→＝TQ―→，求实数t的取值范围．解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为4－02－0＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝|2×6－7＋m|5＝|m＋5|5.因为BC＝OA＝22＋42＝25，而MC2＝d2＋BC22，所以25＝m＋25＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为A(2,4)，T(t,0)，TA―→＋TP―→＝TQ―→，所以x2＝x1＋2－t，y2＝y1＋4.①因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤t＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221]．