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核心素养提升练五十五圆锥曲线中的最值与范围问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.过直线y=2x+3上的点作圆x2+y2-4x+6y+12=0的切线,则切线长的最小值为()A.B.2C.D.【解析】选A.在直线y=2x+3上任取一点P(x,y),作圆的切线,设切点为M.圆x2+y2-4x+6y+12=0即(x-2)2+(y+3)2=1,圆心为C(2,-3),半径为r=1,切线长为=,|PC|min==2,所以切线长的最小值为=.2.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),||=1,且·=0,则||的最小值是()A.B.C.2D.3【解析】选B.由||=1可知点M的轨迹为以点A为圆心,1为半径的圆,过点P作该圆的切线PM,则|PA|2=|PM|2+|AM|2,得|PM|2=|PA|2-1,所以要使得||的值最小,则要的值最小,而的最小值为a-c=2,此时||的值最小为.3.(2018·成都模拟)若直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F交抛物线C于A,B两点,则+的取值范围为()A.{1}B.(0,1]C.[1,+∞)D.,1【解析】选A.抛物线C:y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.设过点F的直线l的斜率k存在,则直线的方程为y=k(x-1).代入抛物线方程,得k2(x-1)2=4x,化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1.根据抛物线性质可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以+=+==1.当直线l的斜率不存在时,直线的方程为x=1,把x=1代入y2=4x得y=±2,所以+=1.4.(2018·秦皇岛模拟)设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12【解析】选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.【变式备选】如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()A.3m4B.mC.3mD.m4【解析】选D.由椭圆方程可知m-34-m0,所以m4.5.(2018·九江模拟)抛物线y2=12x上的点与直线3x-y+5=0的最近距离为()A.B.C.D.【解析】选B.抛物线上的点到直线的距离d==[(y-2)2+16]≥=.当且仅当y=2时,等号成立.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选B.如图,若将直线3x-y+5=0平移,则移到刚好与抛物线y2=12x相切时,切点到直线的距离最小.设与3x-y+5=0平行的切线为3x-y+t=0,(t≠5)代入抛物线方程得y2-4y+4t=0,Δ=16-16t=0,所以t=1,所以最近距离d==.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点P为圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上的动点,点P到某直线l的最大距离为6.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB,切点为B,则|AB|的最小值是________.【解析】由C:x2+y2-2x-4y+1=0,得(x-1)2+(y-2)2=4,由圆上动点P到某直线l的最大距离为6,可知圆心C(1,2)到直线l的距离为4.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB,切点为B,则要使|AB|最小,需AC⊥l,所以|AB|的最小值是=2.答案:27.斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.【解析】由题意可知,双曲线的其中一条(k0)渐近线斜率大于,,e=.答案:【变式备选】过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线有且只有________条.【解析】设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=32p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.答案:两8.(2018·衡水模拟)已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,在抛物线AOB这段曲线上有一点P,则△APB的面积的最大值为________.【解析】由弦长公式知|AB|=3,只需点P到直线AB距离最大就可保证△APB的面积最大.设与l平行的直线y=2x+b(b≠-4)与抛物线相切,解得b=.所以d=,所以(S△APB)max=×3×=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·新乡模拟)设O为坐标原点,已知椭圆C1:+=1(ab0)的离心率为,抛物线C2∶x2=-ay的准线方程为y=.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点P,Q,若O在以PQ为直径的圆的外部,求直线l的斜率k的取值范围.【解析】(1)由已知=,所以a=2,抛物线C2的方程为x2=-2y,又e=,所以c=,b=1,所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)显然直线x=0不满足条件,可设直线l方程为y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2).由得(1+4k2)x2+16kx+12=0.因为Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)0,所以k∈-∞,-∪,+∞,x1+x2=,x1x2=,由已知0∠POQ,·0,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+2k×+4=0,所以-2k2,综上,k的取值范围是-2,-∪,2.10.(2018·潍坊模拟)已知点F1为圆(x+1)2+y2=16的圆心,N为圆F1上一动点,F2(1,0),点M,P分别是线段F1N,F2N上的点,且满足·=0,=2.(1)求动点M的轨迹E的方程.(2)过点F2的直线l(与x轴不重合)与轨迹E交于A,C两点,线段AC的中点为G,连接OG并延长交轨迹E于B点(O为坐标原点),求四边形OABC的面积S的最小值.【解析】(1)由已知,MP垂直平分F2N,所以|MF1|+|MF2|=4,由椭圆定义知,动点M的轨迹是以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆,长轴长为2a=4,焦距2c=2,所以a=2,c=1,b2=3.轨迹E的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),C(x2,y2),G(x0,y0),直线AC的方程为x=my+1,与椭圆方程联立得(4+3m2)y2+6my-9=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,由弦长公式可得|AC|=|y1-y2|=,又y0=-,所以G,-.直线OG的方程为y=-x,代入椭圆方程得x2=,所以B,-,B到直线AC的距离d1=,O到直线AC的距离d2=,所以S四边形OABC=|AC|(d1+d2)=6≥3,当m=0时取得最小值3.所以四边形OABC的面积的最小值为3.(20分钟40分)1.(5分)(2018·全国卷Ⅲ)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.由A(-2,0),B(0,-2),则三角形ABP的底边|AB|=2,圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为d==2,又因为半径为r=,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为2+=3,最小值为2-=,则三角形ABP的面积的最大值为Smax=×2×3=6,最小值为Smin=×2×=2,故△ABP面积的取值范围为[2,6].2.(5分)已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|·|PF2|的最大值是()A.9B.16C.25D.【解析】选C.根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,根据基本不等式可知|PF1||PF2|≤=25,所以最大值为25.3.(5分)已知抛物线x2=8y上有一条长为10的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为________.【解析】由题意知,抛物线的准线l:y=-2,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则|MM1|==,因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥10.所以|AA1|+|BB1|≥10,2|MM1|≥10,即|MM1|≥5.故点M到x轴的距离d≥3.故AB的中点到x轴的最短距离为3.答案:34.(12分)(2018·榆林模拟)已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=,求椭圆的方程.(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且e≤,求k的取值范围.【解析】(1)由已知得a=2,a2=12,又a2=b2+c2,解得b2=3.所以椭圆的方程为+=1.(2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=,由已知可得,OM⊥ON,易证四边形OMF2N为平行四边形,所以AF2⊥BF2,因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即+9=0,整理为k2=-=-1-,因为e≤,所以2≤a3,12≤a218.所以k2≥,即k的取值范围是-∞,-∪,+∞.5.(13分)已知椭圆C:+=1(ab0)经过点,离心率为,点A为椭圆C的右顶点,直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P(x1,y1),Q(x2,y2).(1)求椭圆C的标准方程.(2)当·=0时,求△OPQ面积的最大值.【解析】(1)由已知得所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)①当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,与+y2=1联立,得P,Q.因为·=0,所以(m-2)2-=0,解得m=或2(舍),所以|PQ|=,△OPQ的面积为.②当直线l的斜率存在时,由已知k≠0,设l:y=kx+m,与+y2=1联立,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由Δ0得4k2-m2+10,所以x1+x2=-,x1x2=(*)因为·=0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+(m2+4)=0,将(*)式代入得12k2+5m2+16km=0,即m=-k或m=-2k(此时直线l过点A,舍去),|PQ|==,点O到直线l的距离d=,S△OPQ=,将m=-k代入得S△OPQ=·,令4k2+1=,0p1,S△OPQ=·,因为y=-9p2-7p+16在(0,1)上递减,所以0y16,S△OPQ∈,综上,△OPQ面积的最大值为.