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核心素养提升练五十三双曲线(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·邢台模拟)双曲线x2-4y2=-1的渐近线方程为()A.x±2y=0B.y±2x=0C.x±4y=0D.y±4x=0【解析】选A.由已知,双曲线为-x2=1,所以其渐近线方程是-x2=0,即x±2y=0.2.(2018·石家庄模拟)若双曲线M:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,则双曲线M的离心率为()A.3B.2C.D.【解析】选D.P为双曲线M上一点,|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10,所以双曲线的离心率为e==.3.已知曲线-=1(a0,b0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=B.x2-y2=1C.x2-y2=D.x2-y2=2【解析】选D.由已知,若曲线-=1(a0,b0)为等轴双曲线,则a2=b2,c==a,即焦点的坐标为(±a,0);渐近线方程为x±y=0,若焦点到渐近线的距离为,则=a=,双曲线的标准方程为-=1,即x2-y2=2.4.已知双曲线-=1的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选B.由已知,双曲线的方程为-=1,其焦点在x轴上,直线x+y=5与x轴交点的坐标为(5,0),所以双曲线的焦点坐标为(5,0),9+m=25,解得m=16,所以双曲线的方程为-=1,渐近线方程为y=±x.5.已知双曲线-=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选D.不妨设A(x0,y0)在第一象限,由已知由①③得=,④所以=×=,⑤由②④⑤得b2=12.所以双曲线的方程为-=1.6.设F为双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,则该双曲线的离心率为()A.B.1+C.2+D.4+2【解析】选B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形,|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,所以e====+1.7.(2019·枣庄模拟)已知双曲线C1:-y2=1,双曲线C2:-=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若△OMF2的面积S=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是()A.32B.16C.8D.4【解析】选B.双曲线C1:-y2=1的离心率为,设F2(c,0),双曲线C2一条渐近线方程为y=x,则|F2M|==b,即|OM|==a,由S=16得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,解得a=8,b=4,c=4,即双曲线的实轴长为16.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·北京高考)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________.【解析】由双曲线的标准方程知a=1,b2=m,c=,所以双曲线的离心率e===,1+m=3,解得m=2.答案:2【变式备选】(2018·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x-2y=0,则它的离心率为()A.B.C.D.2【解析】选A.设双曲线的方程是-=1(其中a0,b0),则渐近线方程是y=±x,由已知=,即b=2a,所以离心率e===.9.(2017·全国卷Ⅲ)双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________.【解析】因为双曲线的标准方程为-=1(a0),所以双曲线的渐近线方程为y=±x,又双曲线的一条渐近线方程为y=x,所以a=5.答案:510.(2018·沈阳模拟)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若双曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则双曲线C2的标准方程为________.【解析】由已知知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设双曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.由双曲线的定义知,a=4,b=3.所以双曲线C2的标准方程为-=1.即-=1.答案:-=1(15分钟25分)1.(5分)(2018·新余模拟)双曲线-=1(a≠0)的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±4xD.y=±x【解析】选A.由双曲线的渐近线方程知,y=±x=±2x.2.(5分)(2018·武汉模拟)双曲线Γ:-=1(a0,b0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为3,则Γ的实轴长等于________.【解析】由题意知其中一个焦点为(0,5),双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=x,即ax-by=0的距离为==b=3,所以a=4,2a=8.答案:83.(5分)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.【解析】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6,又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,所以b2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).答案:x2-=1(x≤-1)4.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x与直线l2:y=-x之间的阴影部分记为W,区域W中动点P(x,y)到l1,l2的距离之积为1.(1)求点P的轨迹C的方程.(2)动直线l穿过区域W,分别交直线l1,l2于A,B两点,若直线l与轨迹C有且只有一个公共点,求证:△OAB的面积恒为定值.【解析】(1)由已知·=1,|(x+y)(x-y)|=2.因为点P在区域W内,所以x+y与x-y同号,(x+y)(x-y)=x2-y2=2,即点P的轨迹C的方程为-=1.(2)设直线l与x轴相交于点D,当直线l的斜率不存在时,|OD|=,|AB|=2,得S△OAB=|AB|·|OD|=2.当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,显然k≠0,则D-,0,把直线l的方程与C:x2-y2=2联立得(k2-1)x2+2kmx+m2+2=0,由直线l与轨迹C有且只有一个公共点知Δ=4k2m2-4(k2-1)(m2+2)=0,得m2=2(k2-1)0,即k1或k-1.设A(x1,y2),B(x2,y2),由,得y1=,同理,得y2=.所以S△OAB=|OD||y1-y2|=-==2.综上,△OAB的面积恒为定值2.