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核心素养提升练五十直线与圆、圆与圆的位置关系(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知圆M:x2+y2=2与圆N:(x-1)2+(y-2)2=3,那么两圆的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离【解析】选B.圆M的圆心为M(0,0),半径为r1=,圆N的圆心为N(1,2),半径为r2=,|MN|==,-+,所以两圆的位置关系是相交.2.圆x2+y2-4y+3=0与直线kx-y+1=0的位置关系是()A.相离B.相交或相切C.相交D.相交、相切或相离【解析】选B.因为直线kx-y+1=0过定点(0,1),且(0,1)满足方程x2+y2-4y+3=0,即点(0,1)在圆上,故直线与圆的位置关系为相交或相切.3.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.4.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11【解析】选C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,所以m=9.5.(2018·惠州模拟)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点恰有3个,则实数a的值为()A.2B.C.-或D.-2或2【解析】选C.因为圆上到直线l的距离等于1的点恰好有3个,所以圆心到直线l的距离d=1,即d==1,解得a=±.6.若过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,B.0,C.0,D.0,【解析】选D.由题意设l的方程为y+1=k(x+),即kx-y+k-1=0.由d=≤1得0≤k≤,所以l的倾斜角的取值范围是0,.7.已知圆心(a,b)(a0,b0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2,则圆的方程为()A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.+=【解析】选B.设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.则由题知解得所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为________.【解析】圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为C(1,-2),因为直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,所以圆心C(1,-2)在直线2x+y+m=0上,所以2×1-2+m=0,解得m=0.答案:09.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.则圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.【解析】由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=+12=2,解得r=.所以圆C的方程为(x-1)2+(y-)2=2.令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),所以直线BC的斜率为kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(+1)=x-0,即y=x+(+1).令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.答案:--110.已知直线l:y=kx+2与圆C:x2+y2-2x-2y=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数k的值为________.【解析】圆C方程化为(x-1)2+(y-1)2=2,所以圆的直径为2,又|AB|=2,直线l:y=kx+2经过圆心(1,1),所以1=k+2,解得k=-1.答案:-1(20分钟40分)1.(5分)对任意的实数k,直线y=kx-1与圆C:x2+y2-2x-2=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能【解析】选C.直线y=kx-1恒过点A(0,-1),圆x2+y2-2x-2=0的圆心为C(1,0),半径为,而|AC|=,点A在圆内,所以直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交.2.(5分)设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.曲线C是以点(2,-1)为圆心,半径为3的圆,则圆心到直线l的距离为=,小于半径,所以圆与直线l相交,作出圆和直线图象如图:其中点C为圆心,AD为过圆心且与直线l垂直的直线,则可知A,D分别为圆被直线l划分的两部分中离直线l最远的点,由于BC=,则AB=3-,所以在A这一部分是没有点到直线l的距离为的,因为BD=3+,故在点B这一部分是有两个点到直线l的距离为,综上曲线C上有两个点到直线l的距离为.3.(5分)(2018·芜湖模拟)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围是()A.0,B.[0,1]C.1,D.0,【解析】选A.因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为|MA|=2|MO|,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由已知点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1,即1≤≤3.由≥1得5a2-12a+8≥0,解得a∈R;由≤3得5a2-12a≤0,解得0≤a≤,所以圆心C的横坐标a的取值范围为0,.4.(12分)已知直线l:kx-y+k-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,求|CD|.【解析】由圆的方程x2+y2=(2)2可知:圆心为(0,0),半径r=2,因为弦长为|AB|=4=2r,说明直线过圆心.则有:0-0+k-=0,解得k=,直线AB的方程为y=x.设直线AB的倾斜角为θ,则tanθ=,所以θ=60°.Rt△AOC中,|CO|===4,所以|CD|=2|OC|=8.【变式备选】设圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r0)上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则圆半径r的取值范围是()A.3r5B.4r6C.r4D.r5【解析】选B.圆心C(3,-5),半径为r,圆心C到直线4x-3y-2=0的距离d==5,由于圆C上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则r-1dr+1,所以4r6.5.(13分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围.(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.【解析】(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆C的圆心(2,3)在l上,所以|MN|=2.