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核心素养提升练四十七直线的倾斜角与斜率、直线的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.因为sinα+cosα=0,所以tanα=-1.又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为()A.[-,1]B.(-∞,-]∪[1,+∞)C.-,1D.-∞,-∪[1,+∞)【解析】选B.因为kAP==1,kBP==-,所以k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).3.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点()A.(1,-3)B.(4,3)C.(3,1)D.(2,3)【解析】选C.2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得则直线过定点(3,1).4.(2018·兰州模拟)若直线+=1(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以≥2.又a+b≥2(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号).【一题多解】选C.因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4.(当且仅当a=b=2时取等号).【变式备选】(2018·沈阳模拟)若直线l:+=1(a0,b0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________.【解析】由直线l:+=1(a0,b0)可知直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值,即求a+b的最小值.由直线经过点(1,2)得+=1.于是a+b=(a+b)·+=3++,因为+≥2=2,当且仅当=时取等号,所以a+b≥3+2,故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3+2.答案:3+25.(2018·张家口模拟)若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线x-y=3的倾斜角的2倍,则()A.m=-,n=1B.m=-.n=-3C.m=,n=-3D.m=,n=1【解析】选D.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.因为x-y=3的倾斜角为60°,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线x-y=3的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°,即-=-,m=.6.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-0,在y轴上的截距为-0,所以,直线不通过第三象限.7.已知A(1,2),B(2,11),若直线y=m-x+1(m≠0)与线段AB相交,则实数m的取值范围是()A.[-2,0)∪[3,+∞)B.(-∞,-1]∪(0,6]C.[-2,-1]∪[3,6]D.[-2,0)∪(0,6]【解析】选C.由已知,A(1,2),B(2,11)两点分布在直线y=m-x+1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上),所以m--2+12m--11+1≤0,解得-2≤m≤-1或3≤m≤6.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·潍坊模拟)直线l过点(-2,2)且与x轴,y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l的方程为________.【解析】若a=b=0,则l过点(0,0)与(-2,2),l斜率k=-1,l方程为y=-x,即x+y=0.若a≠0,b≠0,则直线l的方程为+=1,由已知得解得此时,直线l的方程为x-y+4=0.答案:x+y=0或x-y+4=0【变式备选】过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________.【解析】若直线过原点,则方程为3x+2y=0;若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.答案:3x+2y=0或x-y-5=09.一条直线经过点A(2,-),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是________.【解析】因为直线y=x的倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,即斜率k=tan60°=.又该直线过点A(2,-),故所求直线为y-(-)=(x-2),即x-y-3=0.答案:x-y-3=010.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,直线AB的方程为________.【解析】由题意可得kOA=tan45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C,由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得解得m=,所以A(,).又P(1,0),所以kAB=kAP==,所以lAB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.答案:(3+)x-2y-3-=0(20分钟40分)1.(5分)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为()A.3x+4y+15=0B.4x+3y+6=0C.3x+y+6=0D.3x-4y+10=0【解析】选A.设所求直线的斜率为k,由已知k=-×3=-.又直线经过点A(-1,-3),所以所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.2.(5分)直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.直线l的斜率k=tanα==1+m2≥1,所以≤α.3.(5分)(2018·岳阳模拟)已知动直线l0:ax+by+c-2=0(a0,c0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,则+的最小值为________.【解析】因为动直线l0:ax+by+c-2=0(a0,c0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,所以=3,解得m=0,所以a+c=2.又a0,c0,所以+=(a+c)(+)=≥·(+2)=,当且仅当c=2a=时等号成立.答案:4.(12分)求过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点,且|AB|=5的直线方程.【解析】过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.解方程组得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即x=1为所求.设过点A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),解方程组得(k≠-2,否则与已知直线平行),所以两直线交点B的坐标为.由已知+=52,解得k=-,所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0.5.(13分)(2018·太原模拟)已知两点A(-1,2),B(m,3).(1)求直线AB的方程.(2)已知实数m∈--1,-1,求直线AB的倾斜角α的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-(m+1)y+2m+3=0.(2)①当m=-1时,α=;②当m≠-1时,m+1∈-,0∪(0,],所以k=∈(-∞,-]∪,+∞,所以α∈,∪,.综上,直线AB的倾斜角α∈,.