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核心素养提升练四十八直线的交点坐标与距离公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于()A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3【解析】选C.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,所以m=2或-3.2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24B.24C.6D.±6【解析】选A.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),则即3.点P到点A(1,0)和到直线x=-1的距离相等,且点P到直线y=x的距离等于,这样的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.设点P(x,y),由题意知=|x+1|,且=,所以即①或②解①得或解②得因此,这样的点P共有3个.4.若直线l1:x+3y+m=0(m0)与直线l2:2x+6y-3=0的距离为,则m=()A.7B.C.14D.17【解析】选B.直线l1:x+3y+m=0(m0),即2x+6y+2m=0,因为它与直线l2:2x+6y-3=0的距离为,所以=,解得m=.【变式备选】(2018·郑州模拟)已知直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与l2的距离为()A.B.C.4D.8【解析】选B.因为直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,即3x+4y+=0,所以直线l1与l2的距离为=.5.直线x-2y+1=0关于x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0【解析】选D.由已知,直线x-2y+1=0与x=1的交点坐标为(1,1),又直线x-2y+1=0上的点(-1,0)关于直线x=1对称的点为(3,0),由直线方程两点式得=,即x+2y-3=0.6.(2019·南充模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:ax-y+2=0.若l1∥l2,则实数a的值是()A.0或-3B.2或-1C.0D.-3【解析】选A.因为l1∥l2,所以a×(-1)=a(a+2),即a2+3a=0,所以a=0或a=-3,经检验都符合题意.7.在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.方法一:由已知d===≤|sin(θ+φ)|+||≤1+2=3.当且仅当=2,且sin(θ+φ)=-1时取=,此时m=0,d=|cosθ-2|,cosθ能取到-1,所以d的最大值为3.方法二:由已知及sin2θ+cos2θ=1,得点P(cosθ,sinθ)在圆x2+y2=1上.又直线x-my-2=0过定点(2,0),当d取得最大值时,即圆x2+y2=1上的动点P到动直线x-my-2=0的距离最大,此时圆x2+y2=1的圆心(0,0)到动直线x-my-2=0的距离最大,数形结合,可知动直线为x=2时,圆心(0,0)到动直线x-my-2=0距离最大值为2,所以圆x2+y2=1上的动点P到动直线x-my-2=0的距离最大值为2+1=3,即d的最大值为3.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·忻州模拟)已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,若l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则a+b=________.【解析】由已知.解得或经检验,两种情况均符合题意,所以a+b的值为0或.答案:0或9.(2018·南昌模拟)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为________.【解析】由已知及点到直线的距离公式,得=,解得a=-或-.答案:-或-10.(2018·泉州模拟)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________.【解析】设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0【变式备选】若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是()A.[-11,-1]B.[-11,0]C.[-11,-6)∪(-6,-1]D.[-1,+∞)【解析】选C.两平行直线为2x+y-4=0和2x+y+k+2=0,所以d=≤,解得-11≤k≤-1,又k+2≠-4,得k≠-6,所以k的取值范围是[-11,-6)∪(-6,-1].(20分钟40分)1.(5分)已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过P(-2,),Q(m,0)两点,且直线l与l1垂直,则实数m的值为()A.-2B.-3C.-4D.-5【解析】选D.由已知,kl=tanπ=-,=,所以-×=-1,即m=-5.2.(5分)(2019·南昌模拟)已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的________条件.()A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分又不必要【解析】选B.l1∥l2,若两直线斜率均不存在,则m=-2;若两直线斜率均存在,则斜率相等,即=-,解得m=2,经检验此时两直线不重合.所以m=-2或m=2.【变式备选】(2018·泉州模拟)直线l1:ax+y-a+1=0,直线l2:4x+ay-2=0,则“a=±2”是“l1∥l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】选C.若l1∥l2,则两条直线的斜率相等,即-a=-,解得a=±2.经检验得a=2时两条直线重合,所以a=-2.所以“a=±2”是“l1∥l2”的必要不充分条件.3.(5分)(2018·兰州模拟)一只虫子从点O(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是()A.B.2C.3D.4【解析】选B.点O(0,0)关于直线x-y+1=0的对称点为O′(-1,1),则虫子爬行的最短路程为|O′A|==2.4.(12分)已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,求l2的方程,使得:(1)l2与l1平行,且过点(-1,3).(2)l2与l1垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.【解题指南】(1)由l2与l1平行可设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),再代入点(-1,3)得m的值.(2)由l2与l1垂直可设l2:4x-3y+n=0,再得与坐标轴的交点,由面积公式求解.【解析】(1)设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),因为l2过点(-1,3),将点(-1,3)代入得-3+4×3+m=0,解得m=-9,所以l2方程为3x+4y-9=0.(2)设l2:4x-3y+n=0,设l2与x轴交于点A-,0,与y轴交于点B0,.所以S△AOB=·=4.n2=96,n=±4,所以l2的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.5.(13分)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行.(2)当l1⊥l2时,求a的值.【解析】(1)当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不平行;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不平行;当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),l1∥l2⇔解得a=-1(a=2舍去),综上,当且仅当a=-1时,l1∥l2.(2)当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,不合题意;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不垂直,不合题意;当a≠1且a≠0时,l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由-·=-1,得a=.综上,a=.【一题多解】(1)由A1B2-A2B1=0得a(a-1)-1×2=0,由A1C2-A2C1≠0得a(a2-1)-1×6≠0,所以l1∥l2⇔⇔解得a=-1,所以当且仅当a=-1时,l1∥l2.(2)由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,所以a=.