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核心素养提升练四函数及其表示(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.已知A={x|x=n2,n∈N},给出下列关系式:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能够表示函数f:A→A的个数是()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.对于⑤,当x=1时,x2+1A,故⑤错误,由函数定义可知①②③④均正确.3.(2019·郑州模拟)函数f(x)=ln+的定义域为()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选B.要使函数f(x)有意义,应满足解得x1,故函数f(x)=ln+的定义域为(1,+∞).4.(2018·衡阳模拟)已知f(x)=则f等于()A.-2B.-3C.9D.-9【解析】选C.因为f=log3=-2,所以f=f(-2)==9.5.已知f=+,则f(x)等于()A.(x+1)2(x≠1)B.(x-1)2(x≠1)C.x2-x+1(x≠1)D.x2+x+1(x≠1)【解析】选C.f=+=-+1,令=t(t≠1),则f(t)=t2-t+1,即f(x)=x2-x+1(x≠1).6.(2019·太原模拟)若函数f(x)满足f(1-lnx)=,则f(2)等于()A.B.eC.D.-1【解析】选B.令1-lnx=t,则x=e1-t,于是f(t)=,即f(x)=,故f(2)=e.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.由1-lnx=2,得x=,这时==e,即f(2)=e.7.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为()A.[0,1]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,3]【解析】选A.由题意,得解得0≤x≤1.【变式备选】设函数f(x)=lg(1-x),则函数f[f(x)]的定义域为()A.(-9,+∞)B.(-9,1)C.[-9,+∞)D.[-9,1)【解析】选B.f[f(x)]=f[lg(1-x)]=lg[1-lg(1-x)],其定义域为解得-9x1,所以f[f(x)]的定义域为(-9,1).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019·泉州模拟)已知函数f(x)=若f(x0)=2,则x0的值为________.【解析】若x0≤1,则=2,解得x0=-1,若x01,则log3x0=2,解得x0=9.答案:-1或99.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=lof(x)的定义域是________.【解析】要使函数有意义,需f(x)0,由f(x)的图象可知,当x∈(2,8]时,f(x)0.答案:(2,8]10.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=则满足f(x)+f1的x的取值范围是________.【解析】由题意:令g(x)=f(x)+f=函数g(x)在区间(-∞,0],,三段区间内均单调递增,且g=1,20+0+1,×201,因此,x的取值范围是.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2018·武汉模拟)函数f(x)=满足f(1)+f(a)=2,则a的所有可能取值为()A.1或-B.-C.1D.1或【解析】选A.因为f(1)=e1-1=1且f(1)+f(a)=2,所以f(a)=1,当-1a0时,f(a)=sin(πa2)=1,因为0a21,所以0πa2π,所以πa2=⇒a=-;当a≥0时,f(a)=ea-1=1⇒a=1.故a=-或1.2.(5分)(2019·日照模拟)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的实数x,都有f[f(x)-ex]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln2)=()A.1B.e+1C.e+3D.3【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的单调函数,不妨设f(c)=e+1,所以f(x)-ex=c,f(x)=ex+c.所以f(c)=ec+c=e+1.所以c=1.所以f(x)=ex+1.所以f(ln2)=eln2+1=3.3.(5分)(2018·锦州模拟)已知函数f(x2-3)=lg,则f(x)的定义域为________.【解析】设t=x2-3(t≥-3),则x2=t+3,所以f(t)=lg=lg,由0,得t1或t-3,因为t≥-3,所以t1,即f(t)=lg的定义域为(1,+∞),故函数f(x)的定义域为(1,+∞).答案:(1,+∞)4.(12分)设函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解析式.(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象.【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得解得a=-1,b=1,所以f(x)=(2)f(x)的图象如图.5.(13分)如果对∀x,y∈R都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2.(1)求f(2),f(3),f(4)的值.(2)求+++…+++的值.【解析】(1)因为∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,f(3)=f(1+2)=f(1)·f(2)=23=8,f(4)=f(1+3)=f(1)·f(3)=24=16.(2)方法一:由(1)知=2,=2,=2,…,=2,故原式=2×1009=2018.方法二:对∀x,y∈R都有f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=2,令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)·f(1),即=f(1)=2,故==…==2,故原式=2×1009=2018.