搜索
核心素养提升练十一函数与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)=ex+x-4,则f(x)的零点位于区间()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.f(1)=e+1-4=e-30,f(2)=e2+2-4=e2-20,f(1)f(2)0.故f(x)的零点位于区间(1,2).2.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)【解析】选C.由条件可知f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3.3.(2018·佳木斯模拟)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:123456124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.依题意,f(2)0,f(3)0,f(4)0,f(5)0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))+1的零点的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选A.由f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,由f(-2)=f=-1,得f(x)=-2或f(x)=.若f(x)=-2,则x=-3或x=;若f(x)=,则x=-或x=.综上可得函数y=f(f(x))+1的零点的个数是4.5.函数y=loga(x+1)+x2-2(0a1)的零点的个数为()A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选C.令loga(x+1)+x2-2=0,方程解的个数即为所求函数零点的个数,即为函数y=loga(x+1)(0a1)与函数y=-x2+2(x-1)的图象的交点个数,结合图象,易知图象交点个数为2.二、填空题(每小题5分,共20分)6.已知函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为________.【解析】由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.答案:-7.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为________.【解析】若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.答案:-8.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.【解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一平面直角坐标系下作出函数y=x3与y=的图象如图所示.因为f(1)=1-=-10,f(2)=8-=70,所以f(1)·f(2)0,所以x0∈(1,2).答案:(1,2)9.已知min{a,b}=f(x)=min{|x|,|x+t|},函数f(x)的图象关于直线x=-对称;若“∀x∈[1,+∞),ex2mex”是真命题(这里e是自然对数的底数),则当实数m0时,函数g(x)=f(x)-m零点的个数为__________.【解析】因为f(x)的图象关于x=-对称,且f(0)=0,所以f(-1)=0,即|-1+t|=0,解得t=1.所以f(x)=因为对∀x∈[1,+∞),ex2mex是真命题,所以m恒成立,x∈[1,+∞).令h(x)=,则h′(x)==≥0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(1)=,所以0m.作出f(x)的函数图象如图所示:由图象可知y=f(x)与y=m有4个交点,所以g(x)=f(x)-m有4个零点.答案:4三、解答题10.(15分)设函数f(x)=(x0).(1)作出函数f(x)的图象.(2)当0ab,且f(a)=f(b)时,求+的值.(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.【解析】(1)如图所示.(2)因为f(x)==故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数.由0ab且f(a)=f(b),得0a1b,且-1=1-,所以+=2.(3)由函数f(x)的图象可知,当0m1时,函数f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,即方程f(x)=m有两个不相等的正根.(20分钟40分)1.(5分)(2019·洛阳模拟)方程x+log3x=3的解为x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,则n=()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.方程x+log3x=3的解为x0,就是方程log3x=3-x的解为x0,在同一坐标系中作出y=log3x和y=3-x的图象,如图,观察可知图象的交点在(2,3)内,所以n=2.2.(5分)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞);由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-lnx=0的根,令y1=|x-2|,y2=lnx(x0),在同一个坐标系中画出两个函数的图象;由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.3.(5分)(2018·绵阳模拟)已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=-a(x≠0)有且仅有3个零点,则a的取值范围是________________.【解析】当0x1时,f(x)=-a=-a;当1≤x2时,f(x)=-a=-a;当2≤x3时,f(x)=-a=-a;….f(x)=-a的图象是把y=的图象进行纵向平移而得到的,画出y=的图象如图,f(x)=0等价于=a,通过数形结合可知a∈∪.答案:∪4.(12分)已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点.(1)求m的值.(2)求函数的零点.【解析】(1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,所以m=±2,当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ0时,即m2或m-2,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.(2)由(1)可知,该函数的零点为0.5.(13分)(2018·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,求a的取值范围.【解析】由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),所以函数图象关于x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三个不同的根,则满足如图,即解得a,故a的取值范围是(,).