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核心素养提升练十三变化率与导数、导数的计算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)可导,则等于()A.f′(1)B.3f′(1)C.f′(1)D.f′(3)【解析】选A.==f′(1).2.曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程是()A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0【解析】选C.因为y=sinx+ex,所以y′=ex+cosx,所以在x=0处的切线斜率k=f′(0)=1+1=2,所以y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程为:y-1=2x,即2x-y+1=0,3.函数f(x)=x-g(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-x-1,则g(2)+g′(2)=()A.7B.4C.0D.-4【解析】选A.因为f(x)=x-g(x),所以f′(x)=1-g′(x),又由题意知f(2)=-3,f′(2)=-1,所以g(2)+g′(2)=2-f(2)+1-f′(2)=7.4.直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切时,a=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,且y0=ln(x0+a),又因为切线方程y=x+1的斜率为1,即y′==1,所以x0+a=1,所以y0=0,x0=-1,所以a=2.5.下列曲线中,在x=1处切线的倾斜角为的是()A.y=x2-B.y=xlnxC.y=sin(πx)D.y=x3-2x2【解析】选D.在x=1处切线的倾斜角为,即切线的斜率为tan=-1.对于A,y=x2-的导数为y′=2x+,可得在x=1处切线的斜率为5;对于B,y=xlnx的导数为y′=1+lnx,可得在x=1处切线的斜率为1;对于C,y=sin(πx)的导数为y′=πcos(πx),可得在x=1处切线的斜率为πcosπ=-π;对于D,y=x3-2x2的导数为y′=3x2-4x,可得在x=1处切线的斜率为3-4=-1.6.若一质点按规律s=8+t2运动,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是()A.4B.4.1C.0.41D.-1.1【解析】选B.====4.1.7.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象相对应的一项是()A.①②③④B.②①③④C.②①④③D.②④①③【解析】选C.以第二个容器为例,由于容器上细下粗,所以水以恒速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快,反映在图象上,①符合上述变化情况.而第三个容器在开始时高度增加快,后来时高度增加慢,图象④适合上述变化情况.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=,则g′(4)=________.【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为=,由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5.由g(x)=,得g′(x)=故g′(4)==-.答案:-9.已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,若在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式1恒成立,则实数a的取值范围为________.【解析】的几何意义表示为点(p+1,f(p+1))与点(q+1,f(q+1))两点间的斜率,p,q∈(0,1),所以p+1,q+1∈(1,2).所以1恒成立表示函数f(x)的曲线在区间(1,2)内的斜率恒大于1,即函数f(x)的导数在区间(1,2)内恒大于1.所以f′(x)=-2x1在区间(1,2)内恒成立,所以a(1+2x)(x+1)=2x2+3x+1恒成立,当x∈(1,2)时,(2x2+3x+1)max=15,所以a≥15.答案:[15,+∞)10.已知曲线y=(1-x)xn(n∈N*)在x=处的切线为l,直线l在y轴上的截距为bn,则数列{bn}的通项公式为________.【解析】因为曲线y=(1-x)xn(n∈N*),所以y′=-xn+n(1-x)xn-1=xn-1(n-nx-x),所以y′==(n-1),因为当x=时,y=,所以切线l的方程为y-=(n-1),当x=0时,直线l在y轴上的截距为bn=(2-n).答案:bn=(2-n)(20分钟40分)1.(5分)已知k,b∈R,设直线l:y=kx+b是曲线y=ex+x的一条切线,则()A.k1且b≤1B.k1且b≥1C.k1且b≤1D.k1且b≥1【解析】选C.y=ex+x的导数为:y′=ex+11,可知k1;直线l:y=kx+b在y轴上的截距为b,曲线y=ex+x,x=0时,ymin=1,可知b≤1.2.(5分)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是()A.B.2C.3D.0【解析】选A.y=ln(2x-1)的导函数为y′=,设与曲线y=ln(2x-1)相切且与直线2x-y+3=0平行的直线方程为:2x-y+m=0,设切点为(x0,y0),所以=2,解得x0=1,所以y0=ln(2x0-1)=ln1=0,所以切点为(1,0),所以切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为=.即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.3.(5分)已知函数f(x)=x-存在单调递减区间,且y=f(x)的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切,符合情况的切线l()A.有3条B.有2条C.有1条D.不存在【解析】选D.函数f(x)=x-的导数为f′(x)=1-,依题意可知,f′(x)0在(-∞,+∞)上有解,①a0时,f′(x)0不符合题意;②a0时,f′(x)0,即a,lna,xalna符合题意,则a0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l的方程为y=x-1.假设切线l与曲线y=ex相切,设切点为(x0,y0),即有=1-=x0-1,消去a得=x0-1,设h(x)=exx-ex-1,则h′(x)=xex,令h′(x)0,则x0,所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,当x→-∞时,h(x)→-1,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则1,而a0时,1-1,与1矛盾,所以符合情况的切线不存在.4.(12分)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.(1)求f(x)的解析式.(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,依题意⇒又f′(0)=-3,所以c=-3,所以a=1,所以f(x)=x3-3x.(2)设切点为(x0,-3x0),因为f′(x)=3x2-3,所以f′(x0)=3-3,所以切线方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),又切线过点A(2,m),所以m-(-3x0)=(3-3)(2-x0),所以m=-2+6-6,令g(x)=-2x3+6x2-6,则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2),由g′(x)=0得x=0或x=2,g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2,画出草图知,当-6m2时,g(x)=-2x3+6x2-6有三个解,所以m的取值范围是(-6,2).5.(13分)已知曲线C:y2=2x-4.(1)求曲线C在点A(3,)处的切线方程.(2)过原点O作直线l与曲线C交于A,B两个不同的点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】(1)y0时,y=,所以y′=,所以x=3时,y′=,所以曲线C在点A(3,)处的切线方程为y-=(x-3),即x-y-1=0.(2)设l:y=kx,M(x,y),则将y=kx代入y2=2x-4,可得k2x2-2x+4=0,所以Δ=4-16k20,所以4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以y1+y2=,所以x=,y=,所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2=x(x4).