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核心素养提升练十二函数模型及其应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是()A.y=0.001exB.y=1000lnxC.y=x1000D.y=1000·2x【解析】选A.在对数函数,幂函数,指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除B,C;指数函数中,底数越大,函数增大速度越快.2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3米B.4米C.6米D.12米【解析】选A.设隔墙的长为x(0x6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.3.有一组试验数据如表所示:x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是()A.y=x12-1B.y=x2-1C.y=2log2xD.y=x3【解析】选B.由表格数据可知,函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型,选项C不正确.取x=2.01,代入A选项,得y=x12-13,代入B选项,得y=x2-1≈3,代入D选项,得y=x38;取x=3,代入A选项,得y=x12-1=15,代入B选项,得y=x2-1=8,代入D选项,得y=x3=27.4.(2018·柳州模拟)设甲、乙两地的距离为a(a0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()【解析】选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.(2019·三明模拟)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg2≈0.3010)()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.设要洗x次,则≤,所以x≥≈3.322,因此至少洗4次.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·唐山联考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________.(用常数a表示)【解析】令t=(t≥0),则A=t2,所以D=at-t2=-+a2,所以当t=a,即A=a2时,D取得最大值.答案:a27.(2018·濮阳模拟)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.【解析】由题意得所以22ke==,所以11ke=,所以x=33时,y==(11ke)3·eb=()3·eb=×192=24.答案:248.(2019·湖北模拟)某人根据经验绘制了2018年春节前后,从12月22日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月27日大约卖出了西红柿________千克.【解析】前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.10.某公司为了实现2018年销售利润1000万元的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003x,y=lnx+1,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由.(参考数据:1.003538≈5,e=2.71828…,e8≈2981)【解析】由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当x∈[10,1000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.(1)对于y=0.025x,易知满足①,但当x200时,y5,不满足公司的要求.(2)对于y=1.003x,易知满足①,但当x538时,y5,不满足公司的要求.(3)对于y=lnx+1,易知满足①.当x∈[10,1000]时,y≤ln1000+1.下面证明ln1000+15.因为ln1000+1-5=ln1000-4=(ln1000-8)=(ln1000-ln2981)0,满足②.再证明lnx+1≤x·25%,即2lnx+4-x≤0.设F(x)=2lnx+4-x,则F′(x)=-1=0,x∈[10,1000],所以F(x)在[10,1000]上为减函数,F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)0,满足③.综上,奖励模型y=lnx+1能完全符合公司的要求.【变式备选】(2018·珠海模拟)在一次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟x米,每分钟的用氧量为x2升;②水底作业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟x米,每分钟用氧量为0.2升.设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升.(1)将y表示为x的函数.(2)求y的最小值.(3)若x∈[4,8],求总用氧量y的取值范围.【解析】(1)依题意,下潜所需时间为分钟,返回所需时间为分钟,所以y=x2·+10×0.3+·0.2,整理得:y=++3(x0).(2)由基本不等式可知y=++3≥2+3=7,当且仅当=即x=6时取等号,ymin=7.(3)因为x∈[4,8],y′=,所以y=++3在[4,6]上单调递减,在[6,8]上单调递增,所以当x=6时,y取最小值7,又因为当x=4时,y=7;当x=8时,y=7,所以y的取值范围是.(20分钟40分)1.(5分)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11【解析】选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为,由得n≥10.所以,若探测不到碳14的含量,则至少经过了10个“半衰期”.2.(5分)(2019·泰安模拟)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元【解析】选C.甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40万元,乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80万元,共获利40+80=120万元.3.(5分)某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以vkm/h的速度直达灾区,已知某市到灾区公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于km,那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计).【解析】设全部物资到达灾区所需时间为th,由题意可知,t相当于最后一辆车行驶了km所用的时间,因此,t=≥12,当且仅当=,即v=时取“=”.故这些汽车以km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为12h.答案:124.(12分)(2019·亳州模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.【解析】(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10).(2)f(x)=6x+10+-10≥2-10=70(万元),当且仅当6x+10=,即x=5时等号成立,所以当隔热层厚度为5cm时,总费用f(x)达到最小,最小为70万元.5.(13分)某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,亏损数额国家将给予补偿.(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果亏损,则国家每月补偿数额的范围是多少?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【解析】(1)当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000;当x=200时,S取得最小值-20000.所以国家每月补偿数额的范围是[5000,20000].(2)由题意可知,二氧化碳的每吨处理成本为=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240;②当x∈[144,500)时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200240,所以当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.