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核心素养提升练十八任意角和弧度制及任意角的三角函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cosθ0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.第二象限角不一定大于第一象限角,如361°是第一象限角,100°是第二象限角,而361°100°,故①错误;三角形内角可以是直角,直角既不是第一象限角也不是第二象限角,故②错误;角的大小只与旋转量与旋转方向有关,而与扇形半径大小无关,故③正确;若sinα=sinβ,则α与β的终边有可能相同,也有可能关于y轴对称,故④错误;若cosθ0,则θ不一定是第二或第三象限角,θ的终边有可能落在x轴的非正半轴上,故⑤错误.2.某人从家步行到学校,一般需要10分钟,则10分钟时间钟表的分针走过的角度是()A.30°B.-30°C.60°D.-60°【解析】选D.因为分针是按顺时针方向旋转的,故分针走过的角是负角,又分针旋转了10分钟,故分针走过的角是-60°.【误区警示】解答易出现选C的错误,导致出现这种错误的原因是忽略了分针的旋转方向.3.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积为()A.4cm2B.2cm2C.4πcm2D.2πcm2【解析】选A.因为弧度是2的圆心角所对的弧长为4cm,所以圆的半径为=2,所以扇形的面积为×4×2=4(cm2).4.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是()A.90°-αB.90°+αC.360°-αD.180°+α【解析】选C.若α是第一象限角,则:90°-α位于第一象限,90°+α位于第二象限,360°-α位于第四象限,180°+α位于第三象限.【变式备选】θ是第二象限角,则下列选项中一定为正值的是()A.sinB.cosC.tanD.cos2θ【解析】选C.因为θ是第二象限角,所以为第一或第三象限角,所以tan0.5.若角α是第二象限角,则点P(sinα,cosα)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为α是第二象限角,所以sinα0,cosα0,所以点P(sinα,cosα)在第四象限.6.若角α终边经过点(-2,1),则cosα=()A.-B.-C.D.【解析】选B.角α终边经过点(-2,1),则r==.由余弦函数的定义可得cosα==-.7.已知半径为1的扇形面积为π,则扇形的圆心角为()A.πB.πC.πD.π【解析】选B.设扇形的圆心角为α,所以扇形的面积为S=αR2=α×12=,解得α=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=的定义域为________.【解析】要使函数有意义,则-2sinx≥0,即sinx≤0,则2kπ+π≤x≤2kπ+2π,k∈Z.故函数的定义域为[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z.答案:[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z9.(2018·武汉模拟)已知角α的顶点在原点,始边在x轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m,m),则sin2α=________.【解析】由题意得|OA|2=m2+3m2=1,故m2=.由任意角三角函数定义知cosα=m,sinα=m,由此sin2α=2sinαcosα=2m2=.答案:10.一扇形的圆心角为60°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________.【解析】设扇形的半径为R,内切圆半径为r,则α=60°=π,R=3r,故===.答案:【变式备选】(2018·鄂州模拟)已知tanθ0,且角θ终边上一点为(-1,y),且cosθ=-,则y=________.【解析】因为cosθ=-0,tanθ0,所以θ为第二象限角,则y0.所以由=-,得y=.答案:(20分钟40分)1.(5分)若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),则角α与β的终边的位置关系是()A.重合B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称【解析】选C.因为α与θ的终边相同,β与-θ的终边相同,且θ与-θ的终边关于x轴对称,故α与β的终边关于x轴对称.2.(5分)若扇形的周长是16cm,圆心角是度,则扇形的面积是()A.16B.32C.8D.64【解析】选A.因为度等于2弧度,所以l=2r,因为扇形的周长是16cm,所以l+2r=16,所以r=4,l=8,因此扇形的面积是lr=×8×4=16.3.(5分)(2018·郑州模拟)函数y=lg(2sinx-1)+的定义域为________.【解题指南】依据题意列出不等式组,通过画图作出三角函数线,找到边界角,从而求出各不等式的取值范围,最后求交集即可.【解析】要使原函数有意义,必须有:即如图,在单位圆中作出相应三角函数线,由图可知,原函数的定义域为(k∈Z).答案:(k∈Z)4.(12分)已知sinα0,tanα0.(1)求角α的集合.(2)求终边所在的象限.(3)试判断tansincos的符号.【解析】(1)因为sinα0且tanα0,所以α是第三象限角,故角α的集合为α2kπ+πα2kπ+,k∈Z.(2)由(1)知2kπ+πα2kπ+,k∈Z,故kπ+kπ+,k∈Z,当k=2n(n∈Z)时,2nπ+2nπ+,n∈Z,即是第二象限角.当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+2nπ+π,n∈Z,即是第四象限角,综上,的终边在第二或第四象限.(3)当是第二象限角时,tan0,sin0,cos0,故tansincos0,当是第四象限角时,tan0,sin0,cos0,故tansincos0,综上,tansincos取正号.5.(13分)已知角α终边经过点(4sinθ,-3sinθ),θ∈,求sinα,cosα,tanα.【解析】因为θ∈(π,π),所以sinθ0,因为x=4sinθ,y=-3sinθ,所以r==-5sinθ,所以sinα==,cosα==-,tanα==-.