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核心素养提升练三十五基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a+b≥2B.+C.+≥2D.a2+b22ab【解析】选C.因为ab0,所以0,0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号.2.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选D.因为1=2x+2y≥2=2,所以≤,所以2x+y≤,得x+y≤-2.3.(2019·深圳模拟)已知f(x)=(x∈N*),则f(x)在定义域上的最小值为()A.B.C.D.2【解析】选B.f(x)==x+,因为x∈N*,所以x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时取等号.但x∈N*,故x=5或x=6时,f(x)取最小值,当x=5时,f(x)=,当x=6时,f(x)=,故f(x)在定义域上的最小值为.4.已知f(x)=x+-2(x0),则f(x)有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4【解析】选C.因为x0,所以f(x)=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时,取等号.5.若a≥0,b≥0,且a(a+2b)=4,则a+b的最小值为()A.B.4C.2D.2【解析】选C.因为a≥0,b≥0,所以a+2b≥0,又因为a(a+2b)=4,所以4=a(a+2b)≤,当且仅当a=a+2b=2时等号成立.所以(a+b)2≥4,所以a+b≥2.6.已知x0,y0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为()A.B.2C.D.2【解析】选D.因为x0,y0,x+2y≥2,所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,所以4≤4xy-2,即(-2)(+1)≥0,所以≥2,所以xy≥2.7.(2018·衡水模拟)若a0,b0,lga+lgb=lg(a+b),则a+b的最小值为()A.8B.6C.4D.2【解析】选C.由a0,b0,lga+lgb=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,则有+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最小值为4.二、填空题(每小题5分,共15分)8.设P(x,y)是函数y=(x0)图象上的点,则x+y的最小值为________.【解析】因为x0,所以y0,且xy=2.由基本不等式得x+y≥2=2,当且仅当x=y时等号成立.答案:29.已知x,y为正实数,则+的最小值为________.【解析】因为x,y为正实数,则+=++1=++1,令t=,则t0,所以+=+t+1=+t++≥2+=,当且仅当t=时取等号.所以+的最小值为.答案:10.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素,要求设计其横断面的面积为9平方米,且高度不低于米,记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=________.【解析】设横断面的高为h,由题意得AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x,故BC=-,由得2≤x6,所以y=BC+2x=+(2≤x6),从而y=+≥2=6,当且仅当=(2≤x6),即x=2时等号成立.答案:2(20分钟40分)1.(5分)当0m时,若+≥k2-2k恒成立,则实数k的取值范围为()A.[-2,0)∪(0,4]B.[-4,0)∪(0,2]C.[-4,2]D.[-2,4]【解析】选D.因为0m,所以×2m×(1-2m)≤×=,当且仅当2m=1-2m,即m=时取等号,所以+=≥8,又+≥k2-2k恒成立,所以k2-2k-8≤0,所以-2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[-2,4].2.(5分)(2018·石家庄模拟)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则t=a取得最大值时a的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为圆心到直线的距离d=,则直线被圆截得的弦长L=2=2=2,所以4a2+b2=4,则t=a=·(2a)·≤××[(2a)2+()2]=·[8a2+1+2(4-4a2)]=,当且仅当时等号成立,此时a=.3.(5分)(2019·邯郸模拟)设x0,y0,且=,则当x+取最小值时,x2+=________.【解析】因为x0,y0,所以当x+取最小值时,取得最小值,因为=x2++,又=,所以x2+=+,所以=+≥2=16,所以x+≥4,当且仅当=,即x=2y时取等号,所以当x+取最小值时,x=2y,x2++=16,所以x2++=16,所以x2+=16-4=12.答案:124.(12分)已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y.(1)求+的最小值.(2)是否存在x,y满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由.【解析】(1)因为+==≥=2,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以+的最小值为2.(2)不存在.理由如下:因为x2+y2≥2xy,所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y).又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2.从而有(x+1)(y+1)≤≤4,因此不存在x,y满足(x+1)(y+1)=5.5.(13分)某厂家拟在2018年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数.(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?【解析】(1)由题意知,当m=0时,x=1(万件),所以1=3-k⇒k=2,所以x=3-,每件产品的销售价格为1.5×(元),所以2018年的利润y=1.5x×-8-16x-m=-+29(m≥0).(2)因为m≥0时,+(m+1)≥2=8,所以y≤-8+29=21,当且仅当=m+1,即m=3(万元)时,ymax=21(万元).故该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.