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核心素养提升练三十八合情推理与演绎推理(25分钟45分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知数列{an}的前n项和为Sn,则a1=1,Sn=n2an,试归纳猜想出Sn的表达式为()A.Sn=B.Sn=C.Sn=D.Sn=【解析】选A.Sn=n2an=n2(Sn-Sn-1),所以Sn=Sn-1(n≥2,n∈N*),S1=a1=1,则S2=,S3==,S4=.所以猜想得Sn=.2.(2018·武汉模拟)演绎推理“因为对数函数y=logax(a0且a≠1)是增函数,而函数y=lox是对数函数,所以y=lox是增函数”所得结论错误的原因是()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误【解析】选A.因为当a1时,y=logax在定义域内单调递增,当0a1时,y=logax在定义域内单调递减,所以大前提错误.【变式备选】(2018·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班;丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是()A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日【解析】选C.1～12日期之和为78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的日期之和是26,甲在1日和3日都有值班,故甲余下的两天只能是10日和12日;而乙在8日和9日都有值班,8+9=17,所以11日只能是丙去值班了.余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天,显然,6日只能是丙去值班了.3.下列类比推理中,得到的结论正确的是()A.把loga(x+y)与a(b+c)类比,则有loga(x+y)=logax+logayB.向量a,b的数量积运算与实数a,b的运算性质|ab|=|a|·|b|类比,则有|a·b|=|a||b|C.把(a+b)n与(ab)n类比,则有(a+b)n=an+bnD.把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和【解析】选D.根据对数运算法则,可得A不正确;利用向量的数量积运算,可得B不正确;利用乘方运算,可得C不正确;把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和,可知D正确.4.设三角形ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:若四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r等于()A.B.C.D.【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,即V=S1r+S2r+S3r+S4r,所以r=.5.(2019·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么a10的值为()A.45B.55C.65D.66【解析】选B.第1个图中,小石子有1个,第2个图中,小石子有3=1+2个,第3个图中,小石子有6=1+2+3个,第4个图中,小石子有10=1+2+3+4个,…故第10个图中,小石子有1+2+3+…+10==55个,即a10=55.6.如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第1个图形用了3根火柴,第2个图形用了9根火柴,第3个图形用了18根火柴,…,则第2018个图形用的火柴根数为()A.2014×2017B.2015×2016C.3024×2018D.3027×2019【解析】选D.由题意,第1个图形需要火柴的根数为3×1;第2个图形需要火柴的根数为3×(1+2);第3个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3);…由此,可以推出第n个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3+…+n).所以第2018个图形所需火柴的根数为3×(1+2+3+…+2018)=3×=3027×2019.7.在锐角三角形ABC中,下列结论正确的是()A.sinAcosBB.tanAtanBC.sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCD.sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC【解析】选C.因为△ABC为锐角三角形,所以A+B,所以A-B,因为y=sinx在上是增函数,所以sinAsin=cosB,同理可得sinBcosC,sinCcosA,所以sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2019·咸阳模拟)观察下列式子:2,+,++8,+++,…,根据以上规律,第n(n∈N*)个不等式是________.【解析】根据所给不等式可得第n个不等式是++…+.答案:++…+9.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ0,{an}的通项公式是________.【解析】a1=2,a2=2λ+λ2+(2-λ)·2=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)·22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)·23=3λ4+24.由此猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.答案:an=(n-1)λn+2n(15分钟30分)1.(5分)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a20,那么这个演绎推理出错在()A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确,只有这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提:任何实数的平方都大于0,是不正确的.2.(5分)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是()【解析】选A.依照该五角星连续呈现阴影的两个角按逆时针方向旋转的规律性知,下一个呈现出来的图形是A.【变式备选】如图所示是由长为1的小木棒拼成的图形,其中第n个图形由n个正方形组成:观察图形,根据第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数,得出第n个图形中,小木棒的根数为______.【解析】观察题干中图形可得,第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数分别为4,7,10,13,而4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,13=3×4+1,由归纳推理得,第n个图形中,小木棒的根数为3n+1.答案:3n+13.(5分)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定x=2,则1+=()A.B.C.D.【解析】选C.1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=,故1+=.4.(15分)祖暅是我国南北朝时的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆+=1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法,请类比此法,求出椭球体体积.【解析】椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,现构造两个底面半径为b,高为a的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2(π×b2a-π×b2a)=πb2a.【变式备选】已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长,分别交对边于A′,B′,C′,则++=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”:++=++==1.请运用类比思想猜想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.【解析】结论:在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长,分别交四个面于E,F,G,H点.则+++=1.证明如下:在四面体O-BCD与V-BCD中,设其高分别为h1,h,则===.同理,=;=;=,所以+++===1.