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核心素养提升练三十等比数列及其前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.-C.D.-【解析】选C.由题知公比q≠1,则S3==a1q+10a1,得q2=9,又a5=a1q4=9,则a1=.【变式备选】设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由题意知,q≠1,则,两式相减可得=q3-q2,即=1,所以q=4.2.数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于()A.1B.-1C.D.2【解析】选D.由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ.由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.4.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N*,则an=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-2【解析】选A.因为an+1=Sn+1-Sn=2an+1-4-(2an-4),所以an+1=2an,因为a1=2a1-4,所以a1=4,所以数列{an}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以an=4·2n-1=2n+1.5.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能值为()A.B.C.D.【解析】选C.设三角形的三边分别为a,aq,aq2,其中q0.则由三角形三边不等关系知:当q1时.a+aqa·q2即q2-q-10所以q,所以1q.当0q1时.a为最大边.aq+a·q2a,则q2+q-10,所以q或q-,所以q1.当q=1时,满足题意,综上知,C满足题意.【变式备选】在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n项和Sn=42,则n等于()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.因为{an}为等比数列,所以a3·an-2=a1·an=64.又a1+an=34,所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根,解得或又因为{an}是递增数列,所以由Sn===42,解得q=4.由an=a1qn-1=2×4n-1=32,解得n=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=2a3a6,S5=-62,则a1的值是________.【解析】设{an}的公比为q.由=2a3a6得(a1q4)2=2a1q2·a1q5,所以q=2,所以S5==-62,a1=-2.答案:-2【变式备选】设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=________.【解析】由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q2,a6=a1q5,所以27a1q2=a1q5,所以q=3,由Sn=,得S6=,S3=,所以=·=28.答案:287.若数列{an+1-an}是等比数列,且a1=1,a2=2,a3=5,则an=________.【解析】因为a2-a1=1,a3-a2=3,所以q=3,所以an+1-an=3n-1,所以an-a1=a2-a1+a3-a2+…+an-1-an-2+an-an-1=1+3+…+3n-2=,因为a1=1,所以an=.答案:【变式备选】已知数列{an}满足a1,,,…,是首项为1,公比为2的等比数列,则a101=________.【解析】因为数列{an}满足a1,,,…,是首项为1,公比为2的等比数列,所以a1=1,=2n-1,所以an=a1···…·=1×2×22×…×2n-1==,当n=1时,a1=1满足上式,故an=,所以a101==25050.答案:250508.设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+|a3|+|a4|=________.【解析】因为an=a1qn-1=(-2)n-1,所以a1+|a2|+|a3|+|a4|=1+2+4+8=15答案:15三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{an}的通项公式.(2)求和:b1+b3+b5+…+2n1b.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以2n1b=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+…+2n1b=1+3+32+…+3n-1=.10.已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn.(2)求T2n.【解析】(1)因为an·an+1=,所以an+1·an+2=,所以=,即an+2=an,因为bn=a2n+a2n-1,所以===,因为a1=1,a1·a2=,所以a2=⇒b1=a1+a2=.所以{bn}是首项为,公比为的等比数列.所以bn=×=.(2)由(1)可知,an+2=an,所以a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-.(20分钟40分)1.(5分)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于()A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.(1-4-n)D.(1-2-n)【解析】选C.因为a2=2,a5=,所以a1=4,q=.a1a2+a2a3+…+anan+1=(1-4-n).2.(5分)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,a1=,a3a5=4(a4-1),由题可知q≠1,则a1q2×a1q4=4(a1q3-1),所以×q6=4(×q3-1),所以q6-16q3+64=0,所以(q3-8)2=0,所以q3=8,所以q=2,所以a2=.3.(5分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn+a1=2an,且a1,a2+1,a3成等差数列,则a1+a5=________.【解析】由已知Sn+a1=2an,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n,则a1+a5=2+25=34.答案:34【变式备选】已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和Sn=________.【解析】设等比数列的公比为q,则有解得或又{an}为递增数列,所以所以Sn==2n-1.答案:2n-14.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式.(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.【解析】(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),又S1-31=a-3(a≠3),故数列{Sn-3n}是首项为a-3,公比为2的等比数列,因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.(2)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,当n=1时,a1=a不适合上式,故an=an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2,当n≥2时,an+1≥an⇔12·+a-3≥0⇔a≥-9.又a2=a1+3a1.综上,所求的a的取值范围是[-9,+∞).【变式备选】已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列.(2)求数列{bn}的通项公式.【解析】(1)因为an+Sn=n①,所以an+1+Sn+1=n+1②.②-①得an+1-an+an+1=1,所以2an+1=an+1,所以2(an+1-1)=an-1,当n=1时,a1+S1=1,所以a1=,a1-1=-,所以=,又cn=an-1,所以{cn}是首项为-,公比为的等比数列.(2)由(1)可知cn=·=-,所以an=cn+1=1-.所以当n≥2时,bn=an-an-1=1--=-=.又b1=a1=也符合上式,所以bn=.5.(13分)(2019·太原模拟)已知各项均为正数的数列{an}满足-=+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设数列{bn}满足bn=(n∈N*),若存在正整数m,n(1mn),使得b1,bm,bn成等比数列,求m,n的值.【解析】(1)因为-=+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0,又an0,所以有2an-an+1=0,即2an=an+1,所以数列{an}是公比为2的等比数列,由a2+a4=2a3+4,得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,所以,数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).(2)bn==,若b1,bm,bn成等比数列,则=,即3m2+n(2m2-4m-1)=0,所以2m2-4m-10,解得1-m1+,又m∈N*,且m1,所以m=2,此时n=12.