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核心素养提升练三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∨(p2)中,真命题是()A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4【解析】选C.对于p1(充分性)若xy≥0,则xy至少有一个为0或同号,所以|x+y|=|x|+|y|一定成立;(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得:x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2.所以xy=|x||y|,即xy≥0.故p1为真命题.对于p2,因为y′=2xln2-ln2=ln2,当x∈(0,+∞)时,2x,又因为ln20,所以y′0,函数在(0,+∞)上单调递增;同理,当x∈(-∞,0)时,y′0,函数在(-∞,0)上单调递减.因此p2为假命题.所以q1真,q2假,q3假,q4真.2.下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,x2≥0B.∀x∈R,2x-10C.∃x0∈N,sinx0=1D.∃x0∈R,sinx0+cosx0=2【解析】选D.因为任何实数的平方均非负,所以选项A正确;由指数函数的性质知:2x-10,所以选项B正确;因为当x=1时,sin=1,所以选项C正确;因为sinx+cosx=sin,所以-≤sinx+cosx≤,所以选项D错误.3.命题“∃x0∈R,或x0”的否定是()A.∃x0∈R,≥或≤x0B.∀x∈R,2x≥或x2≤xC.∀x∈R,2x≥且x2≤xD.∃x0∈R,≥且≤x0【解析】选C.特称命题的否定是全称命题,注意“或”的否定为“且”.【变式备选】命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得nx2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得nx2C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得nD.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n【解析】选D.原命题是全称命题,条件为“∀x∈R”,结论为“∃n∈N*,使得n≥x2”,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有D选项符合.4.(2019·石家庄模拟)命题p:若sinxsiny,则xy;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A.p或qB.p且qC.qD.p【解析】选B.取x=,y=,可知命题p是假命题;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q是真命题,故p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.5.(2019·唐山模拟)已知命题p:∃x0∈N,;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0),则()A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真【解析】选A.由,得(x0-1)0,解得x00或0x01,在这个范围内没有自然数,所以命题p为假命题;因为对任意的a∈(0,1)∪(1,+∞),均有f(2)=loga1=0,所以命题q为真命题.6.命题p:“∃x0∈,sin2x0+cos2x0a”是假命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1]B.(-∞,]C.[1,+∞)D.[,+∞)【解析】选A.因为命题p:“∃x0∈,sin2x0+cos2x0a”是假命题,所以命题p:“∀x∈,sin2x+cos2x≥a”是真命题,即(sin2x+cos2x)min≥a,因为sin2x+cos2x=sin,且≤2x+≤,所以sin2x+cos2x≥1,则a≤1.7.已知命题“∃x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,3)C.(-3,+∞)D.(-3,1)【解析】选B.原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+0,由题意知,其为真命题,则Δ=(a-1)2-4×2×0.则-2a-12,则-1a3.二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题“∀x∈R,cosx≤1”的否定是________.【解析】因为全称命题的否定为特称命题,且对结论进行否定,所以该命题的否定为∃x0∈R,cosx01.答案:∃x0∈R,cosx019.给出下列命题:①∀x∈R,x2+10;②∀x∈N,x2≥1;③∃x0∈Z,1;④∃x0∈Q,=3;⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x0∈R,+1=0.其中所有真命题的序号是________.【解析】①显然是真命题;②中,当x=0时,x21,故②是假命题;③中,当x=0时,x31,故③是真命题;④中,对于任意的x∈Q,x2=3都不成立,故④是假命题;⑤中,只有当x=1或x=2时,x2-3x+2=0才成立,故⑤是假命题;⑥显然是假命题.综上可知,所有真命题的序号是①③.答案:①③10.(2018·枣庄模拟)若“∀x∈,m≤tanx+1”为真命题,则实数m的最大值为________.【解析】“∀x∈,m≤tanx+1”为真命题,可得-1≤tanx≤1,所以0≤tanx+1≤2,所以实数m的最大值为0.答案:0(20分钟40分)1.(5分)已知f(x)=3sinx-πx,命题p:∀x∈,f(x)0,则()A.p是假命题,p:∀x∈,f(x)≥0B.p是假命题,p:∃x0∈,f(x0)≥0C.p是真命题,p:∃x0∈,f(x0)≥0D.p是真命题,p:∀x∈,f(x)0【解析】选C.因为f′(x)=3cosx-π,所以当x∈时,f′(x)0,函数f(x)单调递减,即对∀x∈,f(x)f(0)=0恒成立,所以p是真命题.又因为全称命题的否定是特称命题,所以p:∃x0∈,f(x0)≥0.2.(5分)已知p:∃x0∈R,m+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+10,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为()A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2【解析】选A.依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+10恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均为假命题得即m≥2.3.(5分)给定两个命题,p:对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果p与q中有且仅有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立⇒a=0或⇒0≤a4;关于x的方程x2-x+a=0有实数根⇒1-4a≥0⇒a≤;若p真q假,则有0≤a4,且a,所以a4;若p假q真,则有a0或a≥4,且a≤,所以a0,所以实数a的取值范围为(-∞,0)∪.答案:(-∞,0)∪4.(12分)已知a0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+10对∀x∈R恒成立.若p且q为假,p或q为真,求实数a的取值范围.【解析】因为y=ax在R上单调递增,所以p:a1.又不等式ax2-ax+10对∀x∈R恒成立,所以Δ0,即a2-4a0,所以0a4.所以q:0a4.而命题p且q为假,p或q为真,那么p,q中有且只有一个为真,一个为假.(1)若p真,q假,则a≥4;(2)若p假,q真,则0a≤1.所以a的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).5.(13分)已知a∈R,命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x0∈R,+2ax0+2-a=0.(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围.(2)若命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,令f(x)=x2-a,根据题意,只要x∈[1,2]时,f(x)min≥0即可,也就是1-a≥0⇒a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].(2)由(1)可知,命题p为真时,a≤1,命题q为真时,Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.因为命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,所以命题p与命题q一真一假,当命题p为真、命题q为假时,⇒-2a1;当命题p为假、命题q为真时,⇒a1.综上,实数a的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞).【变式备选】命题p:f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时的最大值不超过2,命题q:正数x,y满足x+2y=8,且a≤+恒成立,若p∨(q)为假命题,求实数a的取值范围.【解析】当a≤0时,f(x)max=f(0)=1-a≤2,解得-1≤a≤0;当0a1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1≤2,解得0a1;当a≥1时,f(x)max=f(1)=a≤2,解得1≤a≤2.所以使命题p为真的a的取值范围是[-1,2].由x+2y=8,得+=1,又x,y都是正数,所以+==+≥+2=1,当且仅当即时,等号成立,故=1.因为a≤+恒成立,所以a≤1,所以使命题q为真的a的取值范围是(-∞,1].因为p∨(q)为假命题,所以p假q真,所以所以a-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1).