搜索
核心素养提升练七十二证明不等式的基本方法(25分钟40分)1.(10分)已知函数f(x)=|x+2|.(1)解不等式f(x)4-|x+1|.(2)已知a+b=2(a0,b0),求证:-f(x)≤+.【解析】(1)不等式f(x)4-|x+1|,即|x+1|+|x+2|4,当x-2时,不等式化为-(x+1)-(x+2)4,解得x-3.5;当-2≤x≤-1时,不等式化为-(x+1)+(x+2)4,无解;当x-1时,不等式化为(x+1)+(x+2)4,解得x0.5;综上所述:不等式的解集为(-∞,-3.5)∪(0.5,+∞).(2)因为+=(a+b)=≥4.5,当且仅当a=,b=时等号成立.由题意知,-f(x)=-|x+2|≤=4.5,所以-f(x)≤+.2.(10分)设函数f(x)=|x-3|,g(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)+g(x)2.(2)对任意的实数x,y,若f(x)≤1,g(y)≤1,求证:|x-2y+1|≤3.【解析】(1)当x2时,原不等式可化为3-x+2-x2,可得x,所以x2.当2≤x≤3时,原不等式可化为3-x+x-22,恒成立,所以2≤x≤3.当x3时,原不等式可化为x-3+x-22,可得x,所以3x.综上,不等式的解集为.(2)|x-2y+1|=|(x-3)-2(y-2)|≤|x-3|+2|y-2|≤1+2=3.3.(10分)(2018·海口模拟)已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.(1)求不等式-2f(x)0的解集A.(2)若m,n∈A,证明:|1-4mn|2|m-n|.【解析】(1)依题意f(x)=|x-1|-|x+2|=由-2-2x-10解得-x,故A=.(2)m,n∈A,由(1)可知m2,n2,因为|1-4mn|2-4|m-n|2=(1-8mn+16m2n2)-4(m2-2mn+n2)=(4m2-1)(4n2-1)0,故|1-4mn|24|m-n|2,故|1-4mn|2|m-n|.4.(10分)(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)=|x+4|,不等式f(x)8-|2x-2|的解集为M.(1)求M.(2)设a,b∈M,证明:f(ab)f(2a)-f(-2b).【解析】(1)将f(x)=|x+4|代入不等式整理得|x+4|+|2x-2|8.①当x≤-4时不等式转化为-x-4-2x+28,解得x-,所以此时x≤-4;②当-4x1时不等式转化为x+4+2-2x8,解得x-2,所以此时-4x-2,③当x≥1时,不等式转化为x+4+2x-28,解得x2,所以此时x2,综上,M={x|x-2或x2}.(2)因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|≤|2a+4+2b-4|=|2a+2b|,所以要证f(ab)f(2a)-f(-2b),只需证|ab+4||2a+2b|,即证(ab+4)2(2a+2b)2,即证a2b2+8ab+164a2+8ab+4b2,即证a2b2-4a2-4b2+160,即证(a2-4)(b2-4)0.因为a,b∈M,所以a24,b24,所以(a2-4)(b2-4)0成立,所以原不等式成立.