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核心素养提升练六十五几何概型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.在[-2,3]上随机取一个数x,则(x+1)(x-3)≤0的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.由(x+1)(x-3)≤0,得-1≤x≤3.长度为4,而[-2,3]的长度为5,由几何概型得所求概率为.2.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积不小于的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.记事件A=“△PBC的面积大于等于”,基本事件空间是线段AB的长度.如图,取AB的三等分点P,如果在线段BP上取点,那么△PBC的面积小于;如果在线段AP上取点,那么△PBC的面积不小于.所以概率为P(A)==.【变式备选】向面积为S的△ABC内任投一点P,则△PBC的面积小于的概率为_______.【解析】取AB,AC的中点E,F,如图所示,如果点P在线段EF上,那么△PBC的面积等于;如果点P在线段EF上方(即△AEF内),那么△PBC的面积大于;如果点P在线段EF下方(即四边形EFCB内),那么△PBC的面积小于.所以概率==.答案:3.纹样是中国艺术宝库的瑰宝,火纹是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷1000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是()A.2B.3C.10D.15【解析】选C.边长为5的正方形的面积S正方形=5×5=25,设阴影部分的面积为S阴,因为该正方形内随机投掷1000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,所以=,解得S阴=×S正方形=×25=10,所以估计阴影部分的面积是10.4.在区间(0,4)上任取一实数x,则2x2的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.由2x2得x1,则在区间(0,4)上任取一数x,则2x2的概率P==.5.(2018·长沙模拟)在区间[0,4]上随机取两个实数x,y,使得x+2y≤8的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.由x,y∈[0,4]可知(x,y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部,其中满足x+2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A(4,2),S正方形=16,S阴影==12,故“使得x+2y≤8”的概率P==.【变式备选】在平面区域{(x,y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P,则点P的坐标(x,y)满足y≤2x的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.依题意作出图象如图,则P(y≤2x)===.6.(2019·荆州模拟)如图,正方形ABNH,DEFM的面积相等,CN=NG=AB,向多边形ABCDEFGH内投一点,则该点落在阴影部分的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.由正方形ABNH,DEFM的面积相等,可得两正方形边长相等,不妨设边长为3,由CN=NG=AB,可得正方形MCNG的边长为2,则阴影部分的面积为2×2=4,多边形ABCDEFGH的面积为2×3×3-2×2=14,则向多边形ABCDEFGH内投一点,该点落在阴影部分的概率为=.7.已知区域Ω={(x,y)||x|≤,0≤y≤},由直线x=-,x=,曲线y=cosx与x轴围成的封闭图形所表示的区域记为A,若在区域Ω内随机取一个点P,则点P在区域A的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意知,区域Ω为图中的长方形,面积为2×=4,区域A即为阴影部分,面积S=cosxdx=sinx=,则所求概率为.【变式备选】(2018·东北三省三校模拟)三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角α=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是()A.1-B.C.D.【解析】选A.易知小正方形的边长为-1,故小正方形的面积为S1=(-1)2=4-2,大正方形的面积为S=2×2=4,故飞镖落在小正方形内的概率P===1-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.【解析】根据几何概型知识,概率为体积之比,即P==.答案:9.(2018·信阳模拟)若m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________.【解析】对于直线方程(m+2)x+(3-m)y-3=0,令x=0,得y=;令y=0,得x=,由题意可得··,因为m∈(0,3),所以解得0m2,由几何概型计算公式可得,所求事件的概率P=.答案:10.在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为________.【解析】方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1,x2,则解得p≤1或p≥2.又因为p∈[0,5],根据几何概型的概率计算公式可知方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为P==.答案:【互动探究】若本题的条件“两个负根”变为“无实根”,则结果如何?【解析】由条件知Δ=4p2-4(3p-2)0,解得:1p2,所以没有实根的概率为P==.(15分钟30分)1.(5分)已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.由1≤f(x)≤2,可知1≤log2x≤2,解得2≤x≤4,由几何概型可知P==.2.(5分)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到直线y+2=0的距离大于2的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.作出平面区域可知平面区域D是以A(4,3),B(4,-2),C(-6,-2)为顶点的三角形区域,当点在△AED区域内时,点到直线y+2=0的距离大于2.P===.3.(5分)(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3【解析】选A.方法一:取AB=AC=2,则BC=2,所以区域Ⅰ的面积为SⅠ=×2×2=2,区域Ⅲ的面积为SⅢ=·π()2-2=π-2,区域Ⅱ的面积为SⅡ=π·12-SⅢ=2,故p1=p2.方法二:设AC=b,AB=c,BC=a,则有b2+c2=a2,从而可以求得△ABC的面积为SⅠ=bc,黑色部分的面积为SⅡ=·+·-=+bc=·+bc=bc,其余部分的面积为SⅢ=·-bc=-bc,所以有SⅠ=SⅡ,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到p1=p2.4.(15分)(2018·昆明模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取一点M.(1)求四棱锥M-ABCD的体积小于的概率.(2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1内的概率.【解析】(1)设四棱锥M-ABCD的高为h,令··h=,因为=1,所以h=.若四棱锥M-ABCD的体积小于,则h,即点M在正方体的下半部分,所以P==.(2)因为=×12×1=,所求概率P1==.【变式备选】1.(2019·潍坊模拟)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15°,边界忽略不计)即为中奖.乙商场:从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是2个红球,即为中奖.问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?【解析】如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为πR2(R为圆盘的半径),阴影区域的面积为=.所以在甲商场中奖的概率为P1==.如果顾客去乙商场,记盒子中3个白球为a1,a2,a3,3个红球为b1,b2,b3,记(x,y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共15种,摸到的2个球都是红球有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共3个,所以在乙商场中奖的概率为P2==.由于P1P2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大.2.已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b0的概率.【解析】(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36,由a·b=-1,得-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个.故满足a·b=-1的概率为=.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}.满足a·b0的基本事件的结果为A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y0}.画出图象如图所示,矩形的面积为S矩形=25,阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21,故满足a·b0的概率为.