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核心素养提升练六十八离散型随机变量的均值与方差(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)等于()A.2B.2或C.D.1【解析】选C.由题意,+=1,a0,所以a=1,所以E(X)=0×+1×=.2.已知X的分布列为X-101P则在下列式子中①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=,正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由E(X)=(-1)×+0×+1×=-,知①正确;由D(X)=×+×+×=,知②不正确;由分布列知③正确.3.节日期间,某种鲜花进货价是每束2.5元,销售价为每束5元;节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布:X200300400500P0.200.350.300.15若购进这种鲜花500束,则利润的均值为()A.706元B.690元C.754元D.720元【解析】选A.由分布列可以得到E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,所以利润是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706(元).4.已知X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则D(2X-1)=()A.B.C.D.【解析】选B.因为X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,所以由已知得1×+a×=,解得a=2,所以D(X)=1-2×+2-2×=,所以D(2X-1)=22D(X)=4×=.【变式备选】已知离散型随机变量ξ的概率分布如下:ξ012P0.33k4k随机变量η=2ξ+1,则η的数学期望为()A.1.1B.3.2C.11kD.22k+1【解析】选B.由0.3+3k+4k=1得k=0.1,所以E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,E(η)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.5.如果X～B(20,p),当p=且P(X=k)取得最大值时,k的值为()A.9B.10C.11D.12【解析】选B.当p=时,P(X=k)=·=·,显然当k=10时,P(X=k)取得最大值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=________.【解析】因为X～B,所以D(X)=3××=.答案:【变式备选】设随机变量X～B(8,p),且D(X)=1.28,则概率p的值是________.【解析】由D(X)=8p(1-p)=1.28,所以p=0.2或p=0.8.答案:0.2或0.87.设随机变量ξ的分布列如下表所示:ξ012Pabc其中a,b,c成等差数列,若随机变量ξ的均值为,则ξ的方差为________.【解析】由题意有a+b+c=1,2b=a+c,b+2c=,解得a=,b=,c=,则其方差为D(ξ)=×+×+×=.答案:8.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a1000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是________.【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解.【解析】X表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为:X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100-.若保险公司获益,则期望大于0,解得a20000,所以a∈(1000,20000).答案:(1000,20000)三、解答题(每小题10分,共20分)9.若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).【解析】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量X可能的取值为0,-1,1,因此P(X=0)==,P(X=-1)==,P(X=1)=1--=,所以X的分布列为X0-11P则E(X)=0×+(-1)×+1×=.10.某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送牛奶,已知下表内的信息:统计信息汽车行驶路线在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路1231.6公路2140.8(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位:万元),求ξ的分布列和均值E(ξ).(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多?(注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费)【解析】(1)若汽车走公路1,不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6=18.4(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4(万元),所以汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为:ξ18.417.4PE(ξ)=18.4×+17.4×=18.3(万元).(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η,则不堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8+1=20.2(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8-2=17.2(万元).所以汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为η20.217.2PE(η)=20.2×+17.2×=18.7(万元).因为E(ξ)E(η),所以选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多.【变式备选】有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.【解析】E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.(20分钟40分)1.(5分)某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分;命中次数为X,得分为Y,则E(X),D(Y)分别为()A.0.6,60B.3,12C.3,120D.3,1.2【解析】选C.X～B(5,0.6),Y=10X,所以E(X)=5×0.6=3,D(X)=5×0.6×0.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120.2.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从这10件产品中任取两件,用ξ表示取到次品的件数,则E(ξ)等于()A.B.C.D.1【解析】选A.ξ服从超几何分布P(ξ=x)=(x=0,1,2),则P(ξ=0)===,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.故E(ξ)=0×+1×+2×=.3.(5分)已知X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2=________.【解析】由题意得,E(X)=x1+x2=,①D(X)=×+×=,②由①②得x1+x2=3.答案:34.(12分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值.(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和均值E(X).【解析】(1)因为第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高为=0.06.频率分布直方图补全如下:因为第一组的人数为=200,频率为0.04×5=0.2,所以n==1000.第二组的频率为0.06×5=0.3,故第二组的人数为1000×0.3=300,因此p==0.65.由题意可知,第四组的频率为0.03×5=0.15,故第四组的人数为1000×0.15=150,因此a=150×0.4=60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1,所以采用分层抽样法抽取18人,[40,45)岁中有12人,[45,50)岁中有6人.可知随机变量X服从超几何分布,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以随机变量X的分布列为:X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.【变式备选】(2018·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45].(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中,年龄在[35,40)岁的人数.(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及均值.【解析】(1)因为小矩形的面积等于频率,所以除[35,40)外的频率和为0.70,所以x==0.06.故500名志愿者中,年龄在[35,40)岁的人数为0.06×5×500=150(人).(2)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名.故X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.5.(13分)自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二孩能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:产假安排(单位:周)1415161718有生育意愿家庭数48162026(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为14周