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核心素养提升练六十分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.现有5名同学去听同时进行的6个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()A.54B.65C.D.6×5×4×3×2【解析】选B.因为每位同学均有6种讲座可选择,所以5位同学共有6×6×6×6×6=65种.【变式备选】植树节那天,四位同学植树,现有3棵不同的树,若一棵树限1人完成,则不同的植树方法种数有()A.1×2×3种B.1×3种C.34种D.43种【解析】选D.完成每棵树的种植都有4种方法,由分步乘法计数原理得,完成这三棵树的种植的方法总数是4×4×4=43(种).2.芳芳同学有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则芳芳同学不同的选择方式的种数为()A.24B.14C.10D.9【解析】选B.根据题目信息可得需要分两类:一类是衬衣+裙子:分两步,衬衣有4种选择,裙子有3种选择,共有4×3=12(种);第二类是连衣裙,2种选择.故共有12+2=14(种).3.已知椭圆+=1,若a∈{2,4,6,8},b∈{1,2,3,4,5,6,7,8},则这样的椭圆有()A.12个B.16个C.28个D.32个【解析】选C.根据题意,分4种情况讨论,(1)a=2时,b有7种情况,(2)a=4时,b有7种情况,(3)a=6时,b有7种情况,(4)a=8时,b有7种情况,则一共有7+7+7+7=28种情况.4.现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色,要求相邻的词语涂色不同,则不同的涂法种数为()A.27B.54C.108D.144【解析】选C.由题意知本题是一个分步计数问题,首先给最左边一块涂色,有4种结果,再给左边第二块涂色有3种结果,以此类推第三块有3种结果,第四块有3种结果,所以根据分步乘法计数原理知共有4×3×3×3=108.5.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成________个集合()A.24B.36C.26D.27【解析】选C.从三个集合中选出两个集合只有AB,AC,BC三种情况.若选出的两个集合为A,B,则有4×3=12种可能,若选出的两个集合为A,C,则有4×2=8种可能,若选出的两个集合为B,C,则有3×2=6种可能,所以一共有12+8+6=26种可能.【变式备选】(2016·全国卷Ⅱ)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【解析】选B.先分步,第一步由E到F,第二步由F到G.第一步由E到F,先向右走有3种走法,先向上走也有3种走法,共有3+3=6种不同的走法;第二步,由F到G,先向右走有2种走法,先向上走,有1种走法,共有1+2=3种不同的走法.综上,共有6×3=18种不同的走法.6.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个【解析】选B.设满足题意的“六合数”为2abc,则a+b+c=4,于是满足条件的a,b,c可分以下四种情形:(1)一个为4,两个为0,共有3个;(2)一个为3,一个为1,一个为0,共有3×2×1=6个;(3)两个为2,一个为0,共有3个;(4)一个为2,两个为1,共有3个.则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个.【变式备选】某市汽车牌照号码可以网上自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母G,L中选择,其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复),某车主从左到右第一个号码只想在1,3,5,7中选择,其他号码只想在1,3,6,8,9中选择,则供他可选的车牌号码的种数为()A.21B.800C.960D.1000【解析】选D.分步完成.从左到右第一个号码有4种选法,第二个号码有2种选法,第三个号码有5种选法,第四个号码有5种选法,第5个号码有5种选法,共有4×2×5×5×5=1000种不同的选法.7.(2018·北师大附中二模)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如:32是“开心数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“开心数”的个数为()A.9B.10C.11D.12【解析】选D.根据题意个位数需要满足要求:因为n+(n+1)+(n+2)10,即n2.,所以个位数可取0,1,2三个数,因为十位数需要满足:3n10,所以n3.,所以十位可以取0,1,2,3四个数,故小于100的开心数共有3×4=12个.二、填空题(每小题5分,共15分)8.设a,b∈{1,2,3},则方程ax+by=0所能表示的不同直线的条数是________.【解析】要得到直线ax+by=0,需要确定a和b的值,当a,b不同时,有3×2=6种方法,当a,b相同时,有1种.故方程ax+by=0所能表示的不同直线的条数是7.答案:79.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,2号盒子中,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有________种.【解析】根据A球所在位置分三类:(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,有3×2×1=6种不同的放法,则根据分步乘法计数原理,此时有3×2×1=6种不同的放法;(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,有3×2×1=6种不同的放法,则根据分步乘法计数原理,此时有3×2×1=6种不同的放法;(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E,有3×2×1=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理,此时有3×3×2×1=18种不同的放法.综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.答案:30【变式备选】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________.【解析】5张参观券分为4堆,其中有2个连号的分法有4种,然后再分给每一个人有4×3×2×1=24种方法,所以总数是4×24=96.答案:9610.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,xy恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有________个.【解析】当A={1}时,B有23-1种情况;当A={2}时,B有22-1种情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1种情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况.所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).答案:17【变式备选】已知集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是________个.【解析】若x=2,则y取3,4,…,9中的一个数,共7种.若x=y,则y取3,4,…,9中的一个,共7种.这样的点有7+7=14个.答案:14(20分钟40分)1.(5分)从集合{1,2,3,…,8,9,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.公比q=2时,有1,2,4;2,4,8.公比q=3时,有1,3,9.公比q=时,有4,6,9.以上共4个;反过来也有4个,即4,2,1;8,4,2;9,3,1;9,6,4.所以等比数列个数为8.2.(5分)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有()A.400种B.460种C.480种D.496种【解析】选C.从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D,A同色1种,D,A不同色3种,所以不同涂法有6×5×4×(1+3)=480(种).【变式备选】用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色.若要求相邻(有公共边)的区域不同色,则不同的涂法共有()1324A.220种B.240种C.260种D.300种【解析】选C.完成该件事可分步进行.涂区域1,有5种颜色可选.涂区域2,有4种颜色可选.涂区域3,可先分类:若区域3的颜色与2相同,则区域4有4种颜色可选;若区域3的颜色与2不同,则区域3有3种颜色可选,此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×(1×4+3×3)=260种涂色方法.3.(5分)数字1,2,3,…,9这九个数字填写在如图的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大,当数字4固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有________种.【解题指南】解答本题首先要注意到1,4,9在主对角线上.【解析】由题意可知,必有1,4,9在主对角线上,2,3只有两种不同的填法,对于它们的每一种填法,5只有两种填法.对于5的每一种填法,6,7,8只有3种不同的填法,由分步乘法计数原理知共有22×3=12种填法.答案:124.(12分)用1,2,3,4四个数字排成三位数(数字可重复使用),并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.(1)写出这个数列的前11项.(2)若an=341,求n.【解析】(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)比an=341小的数有两类:①首位是1或2:②首位是3:故共有2×4×4+1×3×4=44(项)比341小,即n=45.5.(13分)现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?【解析】(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理共有5+2+7=14种不同的选法.(2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同的选法.第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法.第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法,所以有10+35+14=59种不同的选法.【变式备选】小明同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的语文书,他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,有多少种不同的带法?(2)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法?【解析】(1)完成的事情是带一本书,无论带外语书,还是数学书、语文书,事情都已完成,从而确定应用分类加法计数原理,结果为5+4+3=12种.(2)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理,有5×4=20种选法;同样,选外语书、语文书各1本,有5×3=15种选法;选数学书、语文书各1本,有4×3=12种选法;即有三类情况,应用分类加法计数原理,结果为20+15+12=47种.