搜索
核心素养提升练六函数的奇偶性与周期性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·滨州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=2x+2-xD.f(x)=-cosx【解析】选B.对于A,偶函数与单调递减均不满足;对于B,符合题意;对于C,不满足单调递减;对于D,不满足单调递减.2.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数.3.(2019·邯郸模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=()A.-3B.-C.D.3【解析】选A.由f(x)为R上的奇函数,知f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.4.(2019·郑州模拟)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④【解析】选D.由奇函数的定义:f(-x)=-f(x)验证,①f(|-x|)=f(|x|),故为偶函数;②f[-(-x)]=f(x)=-f(-x),为奇函数;③-xf(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x),为偶函数;④f(-x)+(-x)=-[f(x)+x],为奇函数;可知②④为奇函数.5.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)内是增函数B.奇函数,且在(0,1)内是减函数C.偶函数,且在(0,1)内是增函数D.偶函数,且在(0,1)内是减函数【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数.6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选C.由f(x)-g(x)=x3+x2+1,将所有x替换成-x,得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,根据f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,再令x=1,计算得,f(1)+g(1)=1.7.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于y轴对称,而函数f(x-1)的图象关于原点对称,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选D.函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(-x)=f(x),又因为函数f(x-1)的图象关于原点对称,所以f(-x-1)=-f(x-1),所以f(-x)=-f(x-2)=f(x),故f(x)=-f(x+2)=f(x+4),故函数f(x)的周期为4,因为f(-x-1)=-f(x-1),当x=0时,f(-1)=-f(-1),所以f(-1)=0,即f(1)=0,则f(5)+f(6)=f(1)+f(2)=0+3=3.二、填空题(每小题5分,共10分)8.函数f(x)在R上为奇函数,且x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,f(x)=________.【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.答案:-x2-x9.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________.【解题指南】f(x)=xln(x+)为偶函数,即y=ln(x+)是奇函数,利用ln(x+)+ln(-x+)=0确定a的值.【解析】由题意知y=ln(x+)是奇函数,所以ln(x+)+ln(-x+)=ln(a+x2-x2)=lna=0,解得a=1.答案:110.(2018·贵阳模拟)已知f(x)是奇函数,g(x)=.若g(2)=3,则g(-2)=________.【解析】由题意可得g(2)==3,则f(2)=1,又f(x)是奇函数,则f(-2)=-1,所以g(-2)===-1.答案:-1(20分钟40分)1.(5分)(2018·泰安模拟)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2B.1C.-1D.-2【解析】选A.设g(x)=f(x+1),因为f(x+1)为偶函数,则g(-x)=g(x),即f(-x+1)=f(x+1),因为f(x)是奇函数,所以f(-x+1)=f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,所以f(4)+f(5)=0+2=2.2.(5分)(2019·重庆模拟)若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有0,则()A.f(3)f(1)f(-2)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(-2)f(1)【解析】选D.因为∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有0,所以当x≥0时,函数f(x)为减函数,因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,所以f(3)f(2)f(1),即f(3)f(-2)f(1).3.(5分)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1.则f+f(1)+f+f(2)+f=________.【解析】依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,则f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x0,则-x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].5.(13分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.(1)求实数a的取值范围.(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.【解析】(1)f(x)=要使函数f(x)有最小值,需所以-2≤a≤2,故a的取值范围为[-2,2].(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数,所以g(0)=0.设x0,则-x0.所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,所以g(x)=