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核心素养提升练二十一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.把函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,则g(x)()A.在上单调递增B.在上单调递减C.图象关于点对称D.图象关于直线x=对称【解析】选A.因为f(x)=sin2x+cos2x=2sin,所以g(x)=2sin=2sin2x,因此g(x)在上单调递增,图象不关于点对称,也不关于直线x=对称.2.(2019·德州模拟)若函数y=sin(ωx+φ)(ω0)的部分图象如图,则ω等于()A.5B.4C.3D.2【解析】选B.由题图可知=x0+-x0=,即T==,故ω=4.3.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称,则φ可以是()A.B.C.D.【解析】选D.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位,可得图象所对应的函数解析式为y=sin=sin,由图象关于原点对称,可得sin=0,即-+φ=kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z,取k=0,得φ=.4.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω0,|φ|π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=【解析】选A.由题意其中k1,k2∈Z,所以ω=(k2-2k1)-,又T=2π,所以0ω1,所以ω=,φ=2k1π+π,由π得φ=.【光速解题】选A.由“f=2,f=0,”可推测=,T=3π,符合“f(x)的最小正周期大于2π”,易得ω=,代入解析式,结合“f=2,f=0,易求φ=.5.(2019·临汾模拟)把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断:①该函数的解析式为y=2sin;②该函数图象关于点对称;③该函数在上是增函数;④若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中,正确判断的序号有()A.①②B.②④C.①③D.③④【解析】选B.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin2=sin2x+的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象,所以①不正确.f=2sin=2sinπ=0,所以函数图象关于点对称,所以②正确.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数的单调递增区间为,k∈Z,所以③不正确.y=f(x)+a=2sin+a,当0≤x≤时,≤2x+≤,所以当2x+=,即x=时,函数取得最小值,ymin=2sin+a=-+a,令-+a=,得a=2,所以④正确,所以正确判断的序号为②④.二、填空题(每小题5分,共15分)6.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ0)的图象向左平移个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,则φ的最大值是________.【解析】函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ0)的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin,即g(x)=2sin,又g(x)为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,又因为φ0,所以φ的最大值为-.答案:-7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f等于__________.【解析】由题图可知T=2×=,所以ω==2.即f(x)=Atan(2x+φ),又因为f=0,故Atan=0,|φ|,所以φ=,因为f(0)=1,所以Atan=1,即A=1,即f(x)=tan,所以f=tan=tan=.答案:8.已知函数f(x)=cos-(ω0)在区间[0,π]上恰有三个零点,则ω的取值范围是________.【解析】由题意函数f(x)=cos-在区间[0,π]上恰有三个零点,转化为y=cos和函数y=在区间[0,π]上恰有三个交点,当x∈[0,π]时,-≤ωx-≤ωπ-,当x=0时,y=,根据余弦函数的图象,要使两图象有三个交点,则≤ωπ-,解得2≤ω.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数y=f(x)=sinωx+cosωx(ω0)的周期为π.(1)求函数y=f(x)的振幅、初相.(2)用五点法作出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.(3)说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)因为函数y=f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ω0)的周期为T==π,所以ω=2,即y=f(x)=2sin,振幅为2,初相为.(2)列表2x+0ππ2πx-y020-20描点连线,(3)由y=sinx的图象向左平移个单位,再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的,再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到函数y=f(x)的图象.10.如图所示,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A0,ω0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,求A,ω的值和M,P两点间的距离.【解析】依题意,有A=2,=3,又T=,所以ω=,所以y=2sinx,x∈[0,4],所以当x=4时,y=2sin=3,所以M(4,3),又P(8,0),所以MP===5(km),即M,P两点间的距离为5km.(20分钟40分)1.(5分)为得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin2x的图象()A.向右平移个长度单位B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位D.向左平移个长度单位【解析】选B.y=cos=cos=-sin,因为-sin=sin=sin,所以y=cos=sin=sin2.由图象平移的规则可知只需将函数y=sin2x的图象向左平移个长度单位就可以得到函数y=cos的图象.2.(5分)2017年,某市将投资1510.77亿进行城乡建设.其中将对奥林匹克公园进行二期扩建,拟建该市最大的摩天轮建筑.其旋转半径50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约为()A.75米B.85米C.100米D.110米【解析】选B.设该人与地面高度与时间t的关系f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A0,ω0,φ∈[0,2π)),由题意可知:A=50,B=110-50=60,T==21,所以ω=,即f(t)=50sin+60,又因为f(0)=110-100=10,即sinφ=-1,故φ=,所以f(t)=50sin+60,所以f(7)=50sin+60=85.【变式备选】(2018·郑州模拟)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,其初始位置为A0,12秒旋转一周,则动点的纵坐标关于时间(单位:秒)的函数解析式为()A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选C.因为动点初始位置为A0,,所以t=0时,y=,可排除选项A,B;又因为动点12秒旋转一周,所以函数周期为12,可排除选项D.3.(5分)若函数y=Asin(ωx+φ)A0,ω0,|φ|的部分图象如图所示,则该函数解析式是________________.【解析】由图象可得A=2,=-=,即ω=2.将点代入到函数y=Asin(ωx+φ)中,得2=2sin,即+φ=+2kπ,k∈Z.因为|φ|,所以φ=,所以函数解析式为y=2sin.答案:y=2sin4.(12分)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)=sinxcosx-cos.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)将函数f(x)图象向右平移个单位,所得图象对应的函数为g(x).当x∈时,求函数g(x)的值域.【解析】(1)f(x)=sinxcosx-cos=sin2x-cos2x=sin.令2x-=+kπ,k∈Z,解得x=+.所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)易知g(x)=sin.因为x∈,所以2x-∈,所以sin∈,所以g(x)=sin∈,即当x∈时,函数g(x)的值域为.5.(13分)(2018·武汉模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0|φ|π)在上单调递减,且满足f(x)=f.(1)求φ的值.(2)将y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=g(x)的图象,求g(x)的解析式.【解析】(1)f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin.因为f(x)=f,则y=f(x)图象关于x=对称,所以在x=时,2x+φ+=kπ+(k∈Z),所以φ+=kπ,而0|φ|π,所以φ=或φ=-,当φ=时,f(x)=-2sin2x在上单调递减,符合题意.所以φ=可取.当φ=-时,f(x)=2sin2x在上单调递增,不合题意,舍去.因此,φ=.(2)由(1)可知f(x)=-2sin2x,将f(x)=-2sin2x向左平移个单位得到g(x),所以g(x)=-2sin2=-2sin=2sin.