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核心素养提升练二十四应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,测量员在水平线上点B处测量得一塔AD塔顶仰角为30°,当他前进10m到达点C处时,测得塔顶仰角为45°,则塔高为()A.15mB.10mC.(5+5)mD.(5-5)m【解析】选C.设塔高为xm,因为在点B处测量得塔AD塔顶仰角为30°,点C处测塔顶仰角为45°,所以BD=x,CD=x.因为BC=10,所以x-x=10,所以x=5(+1).2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()A.小时B.小时C.小时D.小时【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×=28x2-20x+100,所以当x=时两船相距最近.3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,此时测得点A的仰角为45°.再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是()A.10mB.10mC.10mD.10m【解析】选B.设塔高为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=45°,AB=x,从而有BC=x,在△BCD中,CD=10,∠BCD=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°,由正弦定理可得=,可以求得BC==10=x,所以塔AB的高为10m.4.已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2km,B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为km,则A,B两船的距离为()A.kmB.kmC.2kmD.3km【解析】选A.画出图形如图所示,由题意可得∠ACB=(90°-25°)+85°=150°,又AC=2,BC=.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos150°=13,所以AB=,即A,B两船的距离为km.5.如图,为了估测某塔的高度,在塔底D和A,B(与塔底D在同一水平面上)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°,且A,B两点相距140m,由点D看A,B的张角为150°,则塔的高度CD=()A.140mB.20mC.20mD.140m【解析】选C.设CD=xm,在Rt△ADC中,由∠CAD=45°可得:AD=xm,同理可得:BD=xm,在△ABD中,由余弦定理可得:AD2+BD2-2AD×BD×cos150°=AB2,即:x2+(x)2-2x×x×cos150°=1402,解得:x=20,即塔的高度CD=20m.二、填空题(每小题5分,共15分)6.一艘海轮从A出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,则B,C两点间的距离是________海里.【解析】如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而∠ACB=45°.在△ABC中,由正弦定理,得BC=×sin30°=10.答案:107.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为________km.【解析】因为A,B,C,D四点共圆,圆内接四边形的对角和为π.所以∠B+∠D=π,所以由余弦定理可得AC2=52+32-2×5×3×cosD=34-30cosD,AC2=52+82-2×5×8×cosB=89-80cosB,因为∠B+∠D=π,即cosB=-cosD,所以-=,解得AC=7.答案:78.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于________m.【解析】如图,由图可知,∠DAB=15°,因为tan15°=tan(45°-30°)==2-.在Rt△ADB中,因为AD=60,所以DB=AD·tan15°=60×(2-)=120-60.在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,所以DC=AD·tan60°=60.所以BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m).所以河流的宽度BC等于120(-1)m.答案:120(-1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.渔政船在东海某海域巡航,已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行,该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛,继续航行20分钟到达B点,此时发现该小岛在北偏东60°方向上,若该船向正北方向继续航行,船与小岛的最小距离为多少海里?【解析】根据题意画出相应的图形,如图所示,过C作CD⊥AD于点D,由题意得:AB=×15=5(海里)因为∠A=30°,∠CBD=60°,所以∠BCA=30°,则△ABC为等腰三角形,所以BC=5.在△BCD中,因为∠CBD=60°,CD⊥AD,BC=5,所以CD=,则该船向北继续航行,船与小岛的最小距离为7.5海里.10.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进10米后到达点B,又从点B测得斜度为α,建筑物的高CD为5米.(1)若α=30°,求AC的长.(2)若α=45°,求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值.【解析】(1)当α=30°时,∠ABC=150°,∠ACB=∠BAC=15°,所以BC=AB=10,由余弦定理得:AC2=102+102-2×10×10×cos150°=200+100,故AC=10=5+5.(2)当α=45°时,在△ABC中,由正弦定理得BC==20×=5(-),在△BCD中,sin∠BDC==-1,所以cosθ=cos=sin∠ADC=-1.(20分钟40分)1.(5分)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m【解析】选A.在△ABC中,AC=50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则∠ABC=30°,则由正弦定理=,得AB===50(m).2.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°.在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距600m,则铁塔AB的高度是()A.120mB.480mC.240mD.600m【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD=x,在△BCD中,由余弦定理知cos120°===-,解得x=600m,(x=-300舍去).故铁塔AB的高度为600m.3.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°,两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为________米.【解析】设山高CD为x,在Rt△BCD中,有BD=CD=x,在Rt△ACD中,有AC=2x,AD=x.而AB=AD-BD=(-1)x=100.解得:x=50+50(米).答案:(50+50)4.(12分)如图,某快递小哥从A地出发,沿小路AB→BC以平均速度为20公里/小时送快件到C处,已知BD=10公里,∠DCB=45°,∠CDB=30°,△ABD是等腰三角形,∠ABD=120°.(1)试问,快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处?(2)快递小哥出发15分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路AD→DC追赶,若汽车的平均速度为60公里/小时,问,汽车能否先到达C处?【解析】(1)因为△ABD是等腰三角形,所以AB=10公里,△BCD中,由=,得BC=5(公里),×60≈51.2150,所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处.(2)在△ABD中,由AD2=102+102-2×10×10×=300,得AD=10公里,在△BCD中,∠CBD=105°,由=,得CD=5(1+)(公里),×60+15=20+15≈45.9851.21,所以汽车能先到达C处.5.(13分)如图,已知一艘船由A岛以v海里/小时的速度往北偏东10°的B岛行驶,计划到达B岛后停留10分钟后继续以相同的速度驶往C岛.C岛在B岛的北偏西65°的方向上,C岛在A岛的北偏西20°的方向上.上午10时整,该船从A岛出发.上午10时20分,该船到达D处,此时测得C岛在北偏西35°的方向上.如果一切正常,此船何时能到达C岛?(精确到1分钟)【解析】在△ACD中,∠CAD=30°,∠ADC=135°,根据正弦定理得,=,即CD=AD.在△BCD中,∠BCD=30°,∠CBD=105°,根据正弦定理得,==,即DB+BC=CD.所以DB+BC=AD,即DB+BC=AD=AD=(1+)AD,从而,此船行驶DB和BC共需20(1+)分钟.故由A岛出发到达C岛全程需要50+20分钟.即该船于11时18分到达岛.(说明:11时19分,也正确.)