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核心素养提升练二十二三角恒等变换(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·成都模拟)计算:sin20°cos10°-cos160°·sin10°=()A.B.-C.-D.【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=.2.已知sin=,则sin2θ=()A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin=,所以(sinθ+cosθ)=,两边平方得(1+sin2θ)=,解得sin2θ=-.3.已知锐角θ满足sin=,则cos的值为()A.-B.C.D.-【解析】选D.由sin=,得1-2sin2=1-=,即cos=,由θ为锐角且cos=0,所以θ+为锐角,所以sin0,cos=cos=-sin=-=-.4.已知sin=,那么cos2α+sin2α=()A.B.-C.-D.【解析】选A.因为cos2α+sin2α=2sin,故cos2α+sin2α=2sin=2cos=2-4sin2=.5.(2019·莆田模拟)已知sinα=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则角β等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为sinα=,sin(β-α)=-,结合α,β均为锐角,可以求得cosα=,cos(β-α)=,所以sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)=×+×==,所以β=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.2sin2-1=________.【解析】由题得2sin2-1=2×-1=-.答案:-7.设sin2α=-sinα,α∈,则tan(π-2α)=________.【解析】因为sin2α=-sinα,α∈,所以cosα=-,α=,因此tan(π-2α)=tan=tan=-.答案:-8.(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.【解析】由sinα+cosβ=1与cosα+sinβ=0分别平方相加得sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1,即2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,所以sin(α+β)=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=sincos-sin2.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.【解析】(1)f(x)=sincos-sin2=sinx-·=sinx+cosx-=sin-.由2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤,当x+=-,x=-时,f(x)min=-1-.10.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为,点Q的纵坐标为.(1)求cos2α的值.(2)求2α-β的值.【解析】(1)因为点P的横坐标为,P在单位圆上,α为锐角,所以cosα=,所以cos2α=2cos2α-1=.(2)因为点Q的纵坐标为,所以sinβ=.又因为β为锐角,所以cosβ=.因为cosα=,且α为锐角,所以sinα=,因此sin2α=2sinαcosα=,所以sin(2α-β)=×-×=.因为α为锐角,所以02απ.又cos2α0,所以02α,又β为锐角,所以-2α-β,所以2α-β=.(20分钟40分)1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于()A.5B.-1C.6D.【解析】选A.因为sin(α+β)=,所以sinαcosβ+cosαsinβ=.①因为sin(α-β)=,所以sinαcosβ-cosαsinβ=.②①+②得sinαcosβ=.②-①得cosαsinβ=.==5.2.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则cos=________.【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α=cos2α=,又因为α∈,所以2α∈(0,π),故sin2α==,所以原式=cos2αcos-sin2αsin=×-×=-.答案:-3.(5分)已知sincos+cossin=,x∈,则tan2x=________.【解析】sincos+cossin=sin=-cosx=,故cosx=-,因为x∈,故sinx=-,故tanx=,故tan2x=-.答案:-4.(12分)已知α,β均为锐角,且sinα=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值.(2)求cosβ的值.【解析】(1)因为α,β∈,从而-α-β.又因为tan(α-β)=-0,所以-α-β0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.因为α为锐角,sinα=,所以cosα=.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.5.(13分)(2019·宁波模拟)已知函数f(x)=4cosx·sin-1.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足f(B)=0,a=2,且D是BC的中点,P是直线AB上的动点,求CP+PD的最小值.【解析】(1)f(x)=4cosx-1=sin2x-cos2x-2=2sin-2,由-+2kπ2x-+2kπ,k∈Z,得kπ-xkπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由f(B)=2sin-2=0,得2B-=,所以B=.作C关于AB的对称点C′,连接C′D,C′P,C′B,由余弦定理得(C′D)2=BD2+(BC′)2-2·BD·BC′·cos120°=7.CP+PD=C′P+PD≥C′D=,所以当C′,P,D共线时,CP+PD取最小值.