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核心素养提升练二命题及其关系、充分条件与必要条件(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.命题“若ab,则a+cb+c”的否命题是()A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+cb+c,则abD.若ab,则a+c≤b+c【解析】选A.将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.【变式备选】已知m∈R,命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0【解析】选D.由逆否命题的定义可得答案为D.2.(2019·泸州模拟)“mn”是“log2mlog2n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.mn得不到log2mlog2n,比如2-1,log2(-1)无意义;log2mlog2n,根据对数函数y=log2x在定义域上是增函数便得到mn;所以“mn”是“log2mlog2n”的必要不充分条件.【变式备选】已知a,b∈R,则“a=b”是“=”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.已知a,b∈R,若a=b=-1,则=-1,=1,所以≠;反过来,若=,则=ab,(a+b)2=4ab,所以(a-b)2=0,所以a=b,因此,“a=b”是“=”的必要不充分条件.3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“不破楼兰终不还”的逆否命题为:“若返回家乡,则攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.4.“(m-1)(a-1)0”是“logam0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.(m-1)(a-1)0等价于或而logam0等价于或所以条件具有必要性,但不具有充分性,比如m=0,a=0时,不能得出logam0.5.命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4B.a≤4C.a≥5D.a≤5【解析】选C.命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集.6.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.存在负数λ,使得m=λn,则m·n=λn·n=λ|n|20,因而是充分条件,反之m·n0,不能推出m,n方向相反,则不是必要条件.7.设x,y是两个实数,命题“x,y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A.x+y=2B.x+y2C.x2+y22D.xy1【解析】选B.对于A,当x=1,y=1时,不能得到x,y中至少有一个数大于1;对于C,x=-1,y=-2,不能得到x,y中至少有一个数大于1;对于D,当x=-1,y=-2时,不能得到x,y中至少有一个数大于1;对于B,若x,y都小于等于1,即x≤1,y≤1,则x+y≤2,与x+y2矛盾.【一题多解】本题还可以采用以下方法选B.若x≤1且y≤1时,可得x+y≤2,反之不成立(用特殊值即可判定);故x≤1且y≤1是x+y≤2的充分不必要条件,那么根据逆否命题的等价性可得x+y2是“当x,y中至少有一个数大于1”的充分不必要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在命题“若m-n,则m2n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________.【解析】原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.答案:39.已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{an}为等比数列”的________条件.【解析】若A=B=0,则Sn=0,数列{an}不是等比数列.如果{an}是等比数列,由a1=S1=Aq+B得a2=S2-a1=Aq2-Aq,a3=S3-S2=Aq3-Aq2,a1a3=,从而可得A=-B,故“A=-B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件.答案:必要不充分10.若xm-1或xm+1是x2-2x-30的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.【解析】由已知易得{x|x2-2x-30}{x|xm-1或xm+1},又{x|x2-2x-30}={x|x-1或x3},所以或所以0≤m≤2.答案:[0,2](20分钟40分)1.(5分)(2019·益阳模拟)命题p:“若a≥b,则a+b2020且a-b”的逆否命题是()A.若a+b≤2020且a≤-b,则abB.若a+b≤2020且a≤-b,则abC.若a+b≤2020或a≤-b,则abD.若a+b≤2020或a≤-b,则a≤b【解析】选C.“且”的否定是“或”,根据逆否命题的定义知,逆否命题为“若a+b≤2020或a≤-b,则ab”.2.(5分)(2018·长沙模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+b,则“1a2”是“f(1)f(3)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.函数f(x)=x2-2ax+b,所以f(1)=1-2a+b,f(3)=9-6a+b,1a2,所以1-2a9-6a,即f(1)f(3);反过来,f(1)f(3)时,得1-2a+b9-6a+b得a2,不能得到1a2,所以“1a2”是“f(1)f(3)”的充分不必要条件.3.(5分)(2018·郑州模拟)已知集合A={x|a-2xa+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是________.【解析】A∩B=∅⇔⇔0≤a≤2.答案:0≤a≤24.(12分)已知集合A=y|y=x2-x+1,x∈[,2],B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.【解析】y=x2-x+1=(x-)2+,因为x∈[,2],所以≤y≤2,所以A={y|≤y≤2}.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).5.(13分)(2018·保定模拟)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.(1)若p是真命题,求对应x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,即对应x的取值范围为[1,4].(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0.当a=2时,解不等式得x=2,对应的解集为B={2};当a2时,解不等式得2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a};当a2时,解不等式得a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}.若p是q的必要不充分条件,则BA,当a=2时,满足条件;当a2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},要使BA,则满足2a≤4;当a2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使BA,则满足1≤a2.综上,a的取值范围为[1,4].