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核心素养提升练八对数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.C.loxD.2x-2【解析】选A.由题意知f(x)=logax(a0,且a≠1),因为f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2.所以f(x)=log2x.2.化简+log2,得()A.2B.2-2log23C.-2D.2log23-2【解析】选B.==2-log23.所以原式=2-log23+log23-1=2-2log23.3.(2019·吕梁模拟)函数y=lnsinx(0xπ)的大致图象是()【解析】选C.因为0xπ,所以0sinx≤1,所以lnsinx≤0,排除选项A,B,D.4.(2018·鞍山模拟)设a=log25,b=log415,c=20.5,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.cbaD.cab【解析】选B.因为a=log25log24=2,2=log416b=log415log48=1.5,c=20.5=,所以a,b,c的大小关系为abc.5.函数f(x)=xa满足f(2)=4,那么函数g(x)=|loga(x+1)|的图象大致为()【解析】选C.方法一:因为f(2)=4,所以2a=4,解得a=2,所以g(x)=|log2(x+1)|=所以当x≥0时,函数g(x)单调递增,且g(0)=0;当-1x0时,函数g(x)单调递减.方法二:由f(2)=4,即2a=4得a=2,所以g(x)=|log2(x+1)|,函数g(x)是由函数y=|log2x|向左平移一个单位得到的,只有C项符合.6.(2018·济宁模拟)设函数f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是()A.f(a+1)f(2)B.f(a+1)f(2)C.f(a+1)=f(2)D.不能确定【解析】选A.因为f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,所以0a1,所以1a+12,而f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以有f(a+1)f(2).7.(2017·北京高考)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg3≈0.48)()A.1033B.1053C.1073D.1093【解析】选D.由题意,lg=lg=lg3361-lg1080=361lg3-80lg10≈361×0.48-80×1=93.28.又lg1033=33,lg1053=53,lg1073=73,lg1093=93,故与最接近的是1093.二、填空题(每小题5分,共10分)8.计算:(lg2)2+lg2·lg50+lg25=________.【解析】原式=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2(1+lg5+lg2)=2lg5+2lg2=2.答案:29.已知函数y=loga(x-1)(a0,a≠1)的图象过定点A,若点A也在函数f(x)=2x+b的图象上,则f(log23)=________.【解析】由题意得A(2,0),因此f(2)=4+b=0,b=-4,所以f(x)=2x-4,所以f(log23)=3-4=-1.答案:-110.已知loga1,那么a的取值范围是________.【解析】loga1,即logalogaa.当a1时,a,所以a1.当0a1时,a,所以0a.所以a的取值范围是0a或a1.答案:0a或a1(20分钟40分)1.(5分)已知函数f(x)=ln,若f+f+…+f=673(a+b),则a2+b2的最小值为()A.6B.C.9D.12【解析】选B.因为f(x)+f(e-x)=2,所以f+f+…+f=2019,所以673(a+b)=2019,所以a+b=3.所以a2+b2≥=,当且仅当a=b时取等号.2.(5分)已知函数f(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是()A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)【解析】选C.因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或b=,所以a+2b=a+,又0ab,所以0a1b,令f(a)=a+,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a∈(0,1)上为减函数,所以f(a)f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).3.(5分)设函数f(x)=|logax|(0a1)的定义域为[m,n](mn),值域为[0,1],若n-m的最小值为,则实数a的值为________.【解析】作出y=|logax|(0a1)的大致图象如图,令|logax|=1,得x=a或x=,又1-a-=1-a-=0,故1-a-1,所以n-m的最小值为1-a=,a=.答案:4.(12分)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a0,a≠1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域.(2)求f(x)在区间上的最大值.【解析】(1)因为f(1)=2,所以loga4=2(a0,a≠1),所以a=2.由得-1x3,所以函数f(x)的定义域为(-1,3).(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],所以当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,故函数f(x)在上的最大值是f(1)=log24=2.5.(13分)已知函数f(x)=logax+m(a0且a≠1)的图象过点(8,2),点P(3,-1)关于直线x=2的对称点Q在f(x)的图象上.(1)求函数f(x)的解析式.(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.【解析】(1)点P(3,-1)关于直线x=2的对称点Q的坐标为(1,-1).由得解得故函数f(x)的解析式为f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2-1(x1),因为==(x-1)++2≥2+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时,“=”成立,而函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,则log2-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.