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滚动评估检测(一)(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为实数集R,集合A={x|x2-3x0},B={x|2x1},则(RA)∩B=()A.(-∞,0]∪[3,+∞)B.(0,1]C.[3,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.集合A={x|x2-3x0}={x|x(x-3)0}={x|0x3},集合B={x|2x1}={x|2x20}={x|x0}.所以RA={x|x≤0或x≥3},所以(RA)∩B={x|x≥3}.2.已知a,b为实数,命题甲:abb2,命题乙:0,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由abb2,即b(b-a)0知b与b-a异号,由0知ab0,故甲是乙的必要不充分条件.3.下列命题中的假命题是()A.∃x0∈(0,+∞),x0sinx0B.∀x∈(-∞,0),exx+1C.∀x0,5x3xD.∃x0∈R,lnx00【解析】选A.因为x∈(0,+∞)时,xsinx恒成立,所以∃x0∈(0,+∞),x0sinx0,不正确;x∈(-∞,0),令g(x)=ex-x-1,可得g′(x)=ex-10,函数是减函数,g(x)g(0)=0,可得∀x∈(-∞,0),exx+1恒成立.由指数函数的性质可知,∀x0,5x3x正确;∃x0∈R,lnx00,当x∈(0,1)时,lnx0成立.4.已知a=2xdx,函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f+a图象的一个对称中心是()A.B.C.D.【解析】选C.a=2xdx=1,T=4=π,所以ω=2.又是五点中的第2个点,所以2×+φ=,所以φ=.显然A=2,所以f(x)=2sin.则f+a=2sin+1,令2x-=kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,当k=1时,x=.5.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y对应的函数y=f(x)的图象的形状大致是下图中的()【解析】选A.①当点P在AB上时,如图y=×x×1=x(0≤x≤1);②当点P在BC上时,如图所以PB=x-1,PC=2-x,所以y=S正方形ABCD-S△ADM-S△ABP-S△PCM=1-××1-(x-1)×1-××(2-x)=-x+,所以y=-x+(1x≤2);③当点P在CM上时,如图,因为MP=2.5-x,所以y=(2.5-x)=-x+(2x≤2.5),综上①②③得到的三个函数都是一次函数,由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图象,只有A的图象是三个一次函数且在第二段上y随x的增大而减小.6.函数f(x)=ln(|x|-1)+x的大致图象是()【解析】选A.f(x)的定义域为{x|x-1或x1}.f(x)=所以f′(x)=所以当x1时,f′(x)0,当x-2时,f′(x)0,当-2x-1时,f′(x)0,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,-1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=ex(x+1),给出下列命题:①当x0时,f(x)=-e-x(x-1);②函数f(x)有2个零点;③f(x)0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).其中正确命题的个数是()A.3B.2C.1D.0【解析】选C.①当x0时,-x0→f(-x)=e-x(-x+1),因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=e-x(x-1),所以①错;②因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,令f(x)=ex(x+1)=0即x=-1,所以f(-1)=f(1)=0,所以②错;③当x0时,f(x)=ex(x+1)0得x+10,即x-1,当x0时,f(x)=e-x(x-1)0,得x-10,即0x1,所以f(x)0的解集为(-∞,-1)∪(0,1),所以③正确.8.函数f1(x)=,f2(x)=,…,fn+1(x)=,…,则函数f2018(x)是()A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】选A.由题意可知f1(x)=(x≠0)是奇函数,f2(x)=(x≠0)是奇函数,f3(x)=(x≠0)是奇函数…由不完全归纳法提出猜想fn(x)为奇函数,其定义域关于原点对称.当n=1时,f1(x)=命题成立;假设n=k(k∈N+)时命题成立,即fk(x)是奇函数,其定义域关于原点对称,则fk+1(x)=,fk+1(-x)==-=-fk+1(x),即函数fk+1(x)是奇函数,因为fk+1(x)=分母不为0,所以其定义域为{x|x+fk(x)≠0},关于原点对称.由数学归纳法可知函数fn(x)为奇函数.9.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数为()A.8B.7C.6D.5【解析】选C.作函数y=f(x),y=+1的图象,有四个交点,分别为t10,t2=0,0t31,t41,根据函数y=f(x)的图象知,方程f(x)=t对应解个数为0,1,3,2,因此零点个数为0+1+3+2=6.10.定义在R上的函数f(x)满足:f(x-1)=f(x+1)=f(1-x)成立,且f(x)在[-1,0]上单调递增,设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bcaD.cba【解析】选D.因为f(x-1)=f(x+1),所以T=2,a=f(3)=f(-1),b=f()=f(-2),c=f(2)=f(0),因为-1-20,且f(x)在[-1,0]上单调递增,所以cba.11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是()A.0B.0或-C.-或-D.0或-【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个公共点,由题意知y′=(x2)′=2x=1,所以x=.所以A,又A点在y=x+a上,所以a=-.12.已知函数f(x)=e4x-1,g(x)=+ln(2x),若f(m)=g(n)成立,则n-m的最小值为()A.B.C.D.【解析】选B.设e4m-1=+ln(2n)=k(k0),则m=+,n=,令h(k)=n-m=--,所以h′(k)=-.又h′(k)=-是增函数,h′=0.所以h(k)在上递减,在上递增,所以h(k)min=h=,即n-m的最小值为.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(x)在点x=1处的切线方程为________.【解题指南】利用换元法求出函数解析式,先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义:函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率,即可求出切线的斜率,从而问题解决.【解析】令t=ex,因为f(ex)=x+ex,所以f(t)=t+lnt,所以f(x)=x+lnx,所以f′(x)=1+,所以f′(1)=2,因为f(1)=1,所以f(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.答案:2x-y-1=014.已知a0且a≠1,函数f(x)=+ln(-x),设函数f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N=________.【解析】f(x)=+ln(-x)=+ln(-x)+2,设g(x)=+ln(-x),g(-x)=+ln(+x)=--ln(-x)=-g(x),则g(x)为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0.M+N=4.答案:415.若偶函数y=f(x),x∈R,满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin|x|在[-10,10]内的根的个数为________.【解析】因为函数y=f(x)为偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以偶函数y=f(x)为周期为4的函数,由x∈[0,2]时,f(x)=2-x2可作出函数f(x)在[-10,10]上的图象,同时作出函数y=sin|x|在[-10,10]上的图象,交点个数即为所求.数形结合可得交点个数为10.答案:1016.将f(x)=2x-的图象向右平移2个单位后得曲线C1,将函数y=g(x)的图象向下平移2个单位后得曲线C2,C1与C2关于x轴对称,若F(x)=+g(x)的最小值为m,且m2+,则实数a的取值范围为________.【解析】首先应求出g(x)的表达式,曲线C1对应的函数式为y=2x-2-,曲线C2与C1关于x轴对称,因此C2的函数解析式为y=-=-2x-2+,C2向上平移2个单位,就是函数g(x)的图象,则g(x)=-2x-2++2,F(x)=--2x-2++2,其最小值大于2+,说明函数G(x)=--2x-2+=·2x+的最小值大于,下面观察函数G(x),若0,则当x→+∞时,G(x)→-∞,G(x)无最小值,同理当4a-10时,x→-∞,2x→0,→-∞,G(x)无最小值.因此≥0,4a-1≥0,G(x)≥2=,当且仅当·2x=时等号成立,即G(x)最小值为,从而⇒a2.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设命题p:实数x满足x2-4ax+3a20,其中a0;命题q:实数x满足≤0.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)由x2-4ax+3a20得(x-3a)(x-a)0,又a0,所以ax3a,当a=1时,1x3,即p为真时实数x的取值范围是1x3.q为真时≤0等价于得2x≤3,即q为真时实数x的取值范围是2x≤3.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2,3).(2)¬q为:实数x满足x≤2或x3;¬p为:实数x满足x2-4ax+3a2≥0,并解x2-4ax+3a2≥0得x≤a,或x≥3a.¬p是¬q的充分不必要条件,所以a应满足:a≤2,且3a3,解得1a≤2.所以a的取值范围为(1,2].18.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数,其中a,b为实数.(1)求a,b的值.(2)用定义证明f(x)在R上是减函数.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,可得b=1.又f(-1)=-f(1),所以=-,解得a=1.当a=1且b=1时,f(x)=,经检验,满足f(x)是R上的奇函数.(2)由(1)得f(x)==-1+,任取实数x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x1x2,所以,且(+1)(+1)0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在R上为减函数.19.(12分)已知函数f(x)=(x2+mx+n)ex,其导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最值.【解析】(1)因为f(x)=(x2+mx+n)ex,所以f′(x)=(2x+m)ex+(x2+mx+n)ex=[x2+(2+m)x+(m+n)]ex,由知解得从