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单元评估检测(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合M={x|x≥2},N={x|x2-6x+50},则M∩N=()A.(1,5)B.[2,5)C.(1,2]D.[2,+∞)【解析】选B.由题意得,x2-6x+50⇒1x5,则M∩N={x|2≤x5}.2.函数f(x)=+的定义域为()A.[0,+∞)B.(1,+∞)C.[0,1)∪(1,+∞)D.[0,1)【解析】选C.要使函数f(x)有意义,则解得x≥0且x≠1,即函数定义域是[0,1)∪(1,+∞).3.已知函数f(x)=则f(log34)的值是()A.4B.12C.36D.108【解析】选C.因为1log342,所以f(log34)=f(1+log34)=f(2+log34)==36.4.下列四类函数中,具有性质“对任意的x0,y0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是()A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数【解析】选C.任意x0,y0,逐项分析:A项,f(x)=xa,(x+y)a≠xa·ya;B项,f(x)=logax,loga(x+y)≠logax·logay;C项,f(x)=ax,则=ax·ay;D项,f(x)=cosx,cos(x+y)≠cosx·cosy.5.(2018•厦门模拟)已知R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=x2+x-1,则f(f(-1))=()A.-1B.1C.2D.-2【解析】选A.根据条件,f(f(-1))=f(-f(1))=-f(f(1))=-f(1)=-1.6.(2018·日照模拟)设a=20.1,b=lg,c=log3,则a,b,c的大小关系是()A.bcaB.acbC.bacD.abc【解析】选D.因为20.120=1=lg10lg0log3,所以abc.7.下列关于函数y=ln|x|的叙述正确的是()A.是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数B.是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数C.是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数D.是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数【解析】选D.函数的定义域为{x|x≠0},因为f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数,当x0时,f(x)=lnx为增函数.8.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是()A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.因为=15,故A4,则有=30,解得c=60,A=16,将c=60,A=16代入解析式检验知正确.9.(2019·杭州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b24ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5ab.其中正确的是()A.②④B.①④C.②③D.①③【解析】选B.因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac0,即b24ac,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y0,即a-b+c0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5ab,④正确.10.若存在负实数使得方程2x-a=成立,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(0,+∞)C.(0,2)D.(0,1)【解析】选C.在同一坐标系内分别作出函数y=和y=2x-a的图象,则由图知,当a∈(0,2)时符合要求.11.若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)3成立的x的取值范围为()A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)【解析】选C.因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-.化简可得a=1,则3,即-30,即0,故不等式可化为0,即12x2,解得0x1.12.(2019·宝鸡模拟)若直角坐标平面内A,B两点满足①点A,B都在函数f(x)的图象上;②点A,B关于原点对称,则点(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”.点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数f(x)=则f(x)的“姊妹点对”有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.根据题意可知,“姊妹点对”满足两点:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.可作出函数y=x2+2x(x0)的图象关于原点对称的图象,看它与函数y=(x≥0)交点个数即可.如图所示:当x=1时,01,观察图象可得:它们有2个交点.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.计算+lg-lg5的结果为________.【解析】+lg-lg5=2+lg=2+lg10-1=2-1=1.答案:114.(2018·成都模拟)已知函数f(x)=若f(m)=1,则m=________.【解析】依题意,得或解得m=-1或m=10.答案:-1或1015.函数y=x-|1-x|的单调增区间为________.【解析】y=x-|1-x|=作出该函数的图象如图所示.由图象可知,该函数的单调递增区间是(-∞,1].答案:(-∞,1]16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,+∞)上单调递减,若f(3x+1)+f(1)≥0,则x的取值范围是________.【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,+∞)上单调递减,若f(3x+1)+f(1)≥0,即f(3x+1)≥-f(1)=f(-1),则3x+1≤-1,求得x≤-,即x的取值范围为(-∞,-].答案:(-∞,-]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=.(1)求f(1)和f(-1)的值.(2)求f(x)在[-1,1]上的解析式.【解析】(1)因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),所以f(1)=0,f(-1)=0.(2)由题意知,f(0)=0.当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).由f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-=-,综上,在[-1,1]上,f(x)=18.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值.(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.【解析】(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2.所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].19.(12分)某厂有一个容量300吨的水塔,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已知该厂生活用水每小时10吨,生产用水总量W(吨)与时间t(单位:小时,规定早晨六点时t=0)的函数关系为W=100,水塔的进水量有10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在供应同时打开进水管,问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水溢出?【解析】设水塔进水量选择第n级,在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt吨,减去生活用水10t吨,再减去生产用水W=100吨,即y=100+10nt-10t-100(0t≤16).若水塔中的水量既能保证该厂用水,又不会使水溢出,则一定有0y≤300,即0100+10nt-10t-100≤300,所以-++1n≤++1对一切t∈(0,16]恒成立.因为-++1=-10+≤,++1=20-≥.所以≤n≤,即n=4.答:进水量应选择4级,既能保证该厂用水,又不会使水溢出.20.(12分)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)-f(x2),且当x1时,f(x)0.(1)求f(1)的值.(2)证明:f(x)为单调递减函数.(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.【解析】(1)令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,则1,由于当x1时,f(x)0,所以f()0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.(3)因为f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9).由f()=f(x1)-f(x2)得,f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.所以f(x)在[2,9]上的最小值为-2.21.(12分)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值.(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=(x-a)2+5-a2(a1),所以f(x)在[1,a]上是减函数又定义域和值域均为[1,a],所以即解得a=2.(2)因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以a≥2,又x=a∈[2,+∞),且(a+1)-a≤a-1,所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,所以2≤a≤3.故所求a的取值范围为[2,3].22.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0,x∈R},满足对∀x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)若f(4)=1,f(x-1)2且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.【解析】(1)因为∀x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)在D上为偶函数,证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0,令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x).所以f(x)在D上为偶函数.(3)依题意,由f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)2,即为f(|x-1|)f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以0|x-1|16,解得-15x17且x≠1,所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).