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大题规范满分练(二)三角综合问题1.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题意知,∠ADB90°,所以cos∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.所以BC=5.2.(2018·太原模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asinA=4bsinB及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,得cosA===-.(2)由(1),可得sinA=,代入asinA=4bsinB,得sinB==.由(1)知,A为钝角,所以cosB==.于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=×--×=-.3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=sinAsinB.(1)求角C.(2)若c=2,△ABC的中线CD=2,求△ABC的面积S的值.【解析】(1)由已知得sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB,由正弦定理得a2+b2-c2=-ab,由余弦定理可得cosC==-.因为0Cπ,所以C=.(2)方法一:由||=|+|=2,可得++2·=16,即b2+a2-ab=16,由余弦定理得a2+b2+ab=24,所以ab=4,所以S=absinC=ab=.方法二:延长CD到M,使CD=MD,连接AM,易证△BCD≌△AMD,BC=AM,∠CAM=.由余弦定理得所以ab=4,所以S=absinC=ab=.4.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b),且m⊥n.(1)求角B的大小.(2)若b=,求a+c的取值范围.【解析】(1)因为m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b),且m⊥n,所以(2a+c)cosB+bcosC=0,所以cosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0,所以2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0.即2cosBsinA=-sin(B+C)=-sinA.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosB=-.因为0Bπ,所以B=.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-2=(a+c)2,当且仅当a=c时取等号.所以(a+c)2≤4,故a+c≤2.又a+cb=,所以a+c∈(,2].即a+c的取值范围是(,2].