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1第二部分专题五1．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．图1图2图3(1)如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE∶CD的值；(3)如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．解：(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF.在△ADE和△DCF中，AD＝DC，∠ADE＝∠DCF，DE＝CF，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC．∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠CDF＝90°，∴∠ADP＋∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DF.(2)是，CE∶CD＝2或2.【解法提示】有两种情况：①如答图1，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a.由勾股定理得，AC＝CE＝a2＋a22＝2a，则CE∶CD＝2a∶a＝2；②如答图2，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，AC＝AE＝a2＋a2＝2a.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE∶CD＝2a∶a＝2.即CE∶CD＝2或2.图1图2图3(3)∵点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是以AD为直径的圆上的一段弧．如答图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大．∵在Rt△QDC中，QC＝CD2＋QD2＝22＋12＝5，∴CP＝QC＋QP＝5＋1，即线段CP的最大值是5＋1.2．问题探究(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决(3)如图3，AC是边长为23的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P.求△APB周长的最大值．图1图2图3解：(1)AM⊥BN.3证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°.∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN.∵∠CBN＋∠ABN＝90°，∴∠ABN＋∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴AM⊥BN.(2)如答图1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥PA于F，作EG⊥PB交PB延长线于G，连接EP.答图1∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG＝∠AEB＝90°，∴∠AEF＝∠BEG.∵EA＝EB，∠EFA＝∠G＝90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF＝EG，AF＝BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA＋PB＝PF＋AF＋PG－BG＝2PF＝2EF.∵EF≤AE，∴EF的最大值为AE＝22，∴△APB周长的最大值为4＋42.(3)如答图2，延长DA到K，使得AK＝AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH＝PB，连接BH.答图2∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，4∴∠APN＝∠BAM＋∠ABP＝∠CBN＋∠ABN＝60°，∴∠APB＝120°.∵∠AKB＝60°，∴∠AKB＋∠APB＝180°，∴A，K，B，P四点共圆，∴∠BPH＝∠KAB＝60°.∵PH＝PB，∴△PBH是等边三角形，∴∠KBA＝∠HBP，BH＝BP，∴∠KBH＝∠ABP.∵BK＝BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK＝AP，∴PA＋PB＝KH＋PH＝PK，∴当PK的值最大时，△APB的周长最大，∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，∴△PAB的周长最大值为23＋4.3．(2016·贵阳)(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是__2AD8__.(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CFEF.(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．图1图2图3(1)解：2AD8.【解法提示】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．5在△BDE和△CDA中，BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，∴△BDE≌△CDA(SAS)，∴BE＝AC＝6.在△ABE中，由三角形的三边关系得AB－BEAEAB＋BE，∴10－6AE10＋6，即4AE16，∴2AD8.(2)证明：如答图1，延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，答图1同(1)得，△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF.∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF.在△BME中，由三角形的三边关系得BE＋BMEM，∴BE＋CFEF.(3)解：BE＋DF＝EF.理由如下：如答图2，延长AB至点N，答图2使BN＝DF，连接CN.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠NBC＋∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D．在△NBC和△FDC中，BN＝DF，∠NBC＝∠D，BC＝DC，∴△NBC≌△FDC(SAS)，∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD．∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，6∴∠BCE＋∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF.在△NCE和△FCE中，CN＝CF，∠ECN＝∠ECF，CE＝CE，∴△NCE≌△FCE(SAS)，∴EN＝EF.∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.4．(2018·湖北)问题：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为__BC＝DC＋EC__；探索：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．图1图2图3解：(1)BC＝DC＋EC．【解法提示】∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，即BC＝DC＋EC．(2)BD2＋CD2＝2AD2.证明：如答图1，连接CE.由(1)得△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，7∴CE2＋CD2＝ED2.在Rt△ADE中，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2.∴BD2＋CD2＝2AD2.答图1答图2(3)如答图2，作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE.∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴CE＝BD＝9.∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝CE2－CD2＝62.∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝22DE＝6.5．(1)问题发现：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE＋DF，试说明理由；(2)类比引申：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系__∠B＋∠D＝180°__时，仍有EF＝BE＋DF；(3)联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，猜想BD，DE，EC满足的等量关系，并写出推理过程．8图1图2图3解：(1)如答图1.∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线，则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，∠FAG＝∠FAD＋∠GAD＝∠FAD＋∠BAE＝90°－45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG.在△EAF和△GAF中，AF＝AF，∠EAF＝∠GAF，AE＝AG，∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF＝FG＝BE＋DF.图1图2(2)∠B＋∠D＝180°.【解法提示】∵AB＝AD，∴如答图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴∠BAE＝∠DAG.∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠DAG＋∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG.∵∠ADC＋∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．在△AFE和△AFG中，AE＝AG，∠FAE＝∠FAG，AF＝AF，9∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝FG，即EF＝BE＋DF.故∠B＋∠ADC＝180°.答图3(3)BD2＋CE2＝DE2.推理过程：如答图，把△ACE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接DF，则∠FAB＝∠CAE.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°.∵∠FAB＝∠CAE，∴∠FAD＝∠DAE＝45°.在△ADF和△ADE中，AD＝AD，∠FAD＝∠EAD，AF＝AE，∴△ADF≌△ADE(SAS)，∴DF＝DE.∵∠C＝∠ABF＝45°，∴∠DBF＝90°，∴△BDF是直角三角形，∴BD2＋BF2＝DF2，∴BD2＋CE2＝DE2.6．(2018·衡阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以2cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；10(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．解：(1)如答图1，连接BP.答图1在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝42.∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP＝BQ.∵AQ＝2t，CP＝t，∴BQ＝42－2t，PB2＝42＋t2，∴(42－2t)2＝16＋t2，解得t＝8－43或8＋43(舍去)，∴当t＝(8－43