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1第二部分专题六1．如图，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；(2)若点P在直线y＝－x＋2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；(3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，解得a＝－1，b＝－1，∴A(－1,3)，B(3，－1)．∵点A(－1,3)在反比例函数y＝kx图象上，∴k＝－1×3＝－3，∴反比例函数的解析式为y＝－3x.(2)设点P(n，－n＋2)．∵A(－1,3)，∴C(－1,0)．∵B(3，－1)，∴D(3,0)．∴S△ACP＝12AC·|xP－xA|＝12×3·|n＋1|，S△BDP＝12BD·|xB－xP|＝12×1·|3－n|.∵S△ACP＝S△BDP，∴12×3·|n＋1|＝12×1·|3－n|，解得n＝0或n＝－3，∴P(0,2)或(－3,5)．(3)存在．设M(m,0)(m＞0)，∵A(－1,3)，B(3，－1)，∴MA2＝(m＋1)2＋9，MB2＝(m－3)2＋1，AB2＝32，∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA＝MB时，∴(m＋1)2＋9＝(m－3)2＋1，∴m＝0(舍)；2②当MA＝AB时，∴(m＋1)2＋9＝32，∴m＝－1＋23或m＝－1－23(舍)，∴M(－1＋23，0)；③当MB＝AB时，(m－3)2＋1＝32，∴m＝3＋31或m＝3－31(舍)，∴M(3＋31，0)．则满足条件的M(－1＋23，0)或(3＋31，0)．2．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝3x－4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝kx也经过A点，连接BC．(1)求k的值；(2)判断△ABC的形状，并求出它的面积；(3)若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)如答图1，过点A分别作AQ⊥y轴于Q点，AN⊥x轴于N点．答图1∵△AOB是等腰直角三角形，∴AQ＝AN.设点A的坐标为(a，a)，∵点A在直线y＝3x－4上，∴a＝3a－4，解得a＝2，则点A的坐标为(2,2)．∵双曲线y＝kx也经过A点，∴k＝4.(2)由(1)知，A(2,2)，∴B(4,0)．3∵直线y＝3x－4与y轴的交点为C，∴C(0，－4)，∴AB2＋BC2＝(4－2)2＋22＋42＋(－4)2＝40，AC2＝22＋(2＋4)2＝40，∴AB2＋BC2＝AC2，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S△ABC＝12AB·BC＝12×22×42＝8.(3)存在．如答图2，假设双曲线上存在一点M，使得△PAM是等腰直角三角形．答图2∴∠PAM＝90°＝∠OAB，AP＝AM，连接BM.∵k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x.∵∠OAB＝∠PAM＝90°，∴∠OAP＝∠BAM.在△AOP和△ABM中，OA＝BA，∠OAP＝∠BAM，AP＝AM，∴△AOP≌△ABM(ASA)，∴∠AOP＝∠ABM，∴∠OBM＝∠OBA＋∠ABM＝90°，∴点M的横坐标为4，∴M(4,1)．则在双曲线上存在一点M(4,1)，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰三角形．3．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4,0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．(1)求一次函数，反比例函数的解析式；(2)求证：点C为线段AP的中点；(3)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．解：(1)∵点A与点B关于y轴对称，∴AO＝BO.4∵A(－4,0)，∴B(4,0)．∵PB⊥x轴于点B，∴P(4,2)．把P(4,2)代入反比例函数解析式可得m＝8，∴反比例函数的解析式为y＝8x.把A，P两点坐标分别代入一次函数解析式可得0＝－4k＋b，2＝4k＋b，解得k＝14，b＝1，∴一次函数的解析式为y＝14x＋1.(2)证明：∵点A与点B关于y轴对称，∴OA＝OB．∵PB⊥x轴于点B，∴∠PBA＝∠COA＝90°，∴PB∥CO，∴点C为线段AP的中点．(3)存在点D，使四边形BCPD为菱形．理由如下：∵点C为线段AP的中点，∴BC＝12AP＝PC，∴BC和PC是菱形的两条边．由y＝14x＋1可得C(0,1)．如答图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD，BD，答图∴D(8,1)，且PB⊥CD，∴PE＝BE＝1，CE＝DE＝4，∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形，∴存在满足条件的点D，其坐标为(8,1)．4．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝mx与y＝nx(x＞0,0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.5(1)当m＝4，n＝20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．解：(1)①如答图1.∵m＝4，∴反比例函数y＝mx的解析式为y＝4x.∵当x＝4时，y＝1，∴B(4,1)，∴当y＝2时，2＝4x，解得x＝2，∴A(2,2)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，将A(2,2)，B(4,1)两点分别代入，得2k＋b＝2，4k＋b＝1，解得k＝－12，b＝3，∴直线AB的函数表达式为y＝－12x＋3.②四边形ABCD是菱形．理由如下：如答图2，由①知，B(4,1)，∵BD∥y轴，∴D(4,5)．∵点P是线段BD的中点，∴P(4,3)．∵当y＝3时，由y＝4x得x＝43，由y＝20x得x＝203，∴PA＝4－43＝83，PC＝203－4＝83，∴PA＝PC．∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．6图1图2答图(2)四边形ABCD能成为正方形．理由：当四边形ABCD是正方形时，则PA＝PB＝PC＝PD(设为t，t≠0)，∵当x＝4时，y＝mx＝m4，∴B(4，m4)，∴A(4－t，m4＋t)，C(4＋t，m4＋t)，∴(4－t)(m4＋t)＝m，∴t＝4－m4，∴C(8－m4，4)，∴(8－m4)×4＝n，∴m＋n＝32.∵点D的纵坐标为m4＋2t＝m4＋2(4－m4)＝8－m4，∴D(4,8－m4)，∴4(8－m4)＝n，∴m＋n＝32.5．如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝k2x的图象分别交于C，D两点，点D(2，－3)，OA＝2.(1)求一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝k2x的解析式；(2)直接写出k1x＋b－k2x≥0时自变量x的取值范围；(3)动点P(0，m)在y轴上运动，当|PC－PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．解：(1)∵点D(2，－3)在反比例函数y2＝k2x的图象上，∴k2＝2×(－3)＝－6，∴y2＝－6x.如答图，过点D作DE⊥x轴于E.7答图∵OA＝2，∴A(－2,0)，∵A(－2,0)，D(2，－3)在y1＝k1x＋b的图象上，∴－2k1＋b＝0，2k1＋b＝－3，解得k1＝－34，b＝－32，∴y1＝－34x－32.(2)由图可得，当k1x＋b－k2x≥0时，x≤－4或0＜x≤2.(3)P点坐标为(0，－152)．理由如下：由y＝－34x－32，y＝－6x，解得x＝2，y＝－3，或x＝－4，y＝32，∴C(－4，32)，如答图，作C(－4，32)关于y轴对称点C′(4，32)，延长C′D交y轴于点P，∴由C′和D的坐标可得，直线C′D解析式为y＝94x－152，令x＝0，则y＝－152，∴当|PC－PD|的值最大时，点P的坐标为(0，－152)．6．如图1，直线y＝kx＋b与双曲线y＝4x(x＞0)相交于点A(1，m)，B(4，n)，与x轴相交于C点．8(1)求点A，B的坐标及直线y＝kx＋b的解析式；(2)求△ABO的面积；(3)如图2，在x轴上是否存在点P，使得PA＋PB的和最小？若存在，请说明理由并求出P点坐标．解：(1)∵点A(1，m)，B(4，n)在双曲线y＝4x(x＞0)上，∴m＝4，n＝1，∴A(1,4)，B(4,1)，∴k＋b＝4，4k＋b＝1，解得k＝－1，b＝5，∴直线y＝kx＋b的解析式为y＝－x＋5.(2)如答图1，设直线AB与y轴交于D点，由(1)知，直线AB的解析式为y＝－x＋5，∴C(5,0)，D(0,5)，∴OC＝5，OD＝5.∴S△AOB＝S△COD－S△AOD－S△BOC＝12×5×5－12×5×1－12×5×1＝152.(3)存在，理由：如答图2，作点B(4,1)关于x轴的对称点B′(4，－1)，连接AB′交x轴于点P，连接BP，在x轴上取一点Q，连接AQ，BQ.∵点B与点B′关于x轴对称，∴点P，Q是BB′中垂线上的点，∴PB′＝PB，QB′＝QB，在△AQB′中，AQ＋B′Q＞AB′，∴AP＋BP的最小值为AB′.∵A(1,4)，B′(4，－1)，∴直线AB′的解析式为y＝－53x＋173，令y＝0，则0＝－53x＋173，解得x＝175，9∴P(175，0)．7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A(－6,0)，D(－2，－8)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A，C重合，过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2－8，把A(－6,0)代入得a(－6＋2)2－8＝0，解得a＝12.∴抛物线的解析式为y＝12(x＋2)2－8，即y＝12x2＋2x－6.(2)如答图，当x＝0时，y＝12x2＋2x－6＝－6，则C(0，－6)．设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把A(－6,0)，C(0，－6)分别代入得－6k＋b＝0，b＝－6，解得k＝－1，b＝－6，∴直线AC的解析式为y＝－x－6.设P(x，12x2＋2x－6)(－6＜x＜0)，则E(x，－x－6)．∴PE＝－x－6－(12x2＋2x－6)＝－12x2－3x＝－12(x＋3)2＋92，∴当x＝－3时，PE的长度有最大值，最大值为92，此时点P的坐标为(－3，－152)．10(3)存在．如答图，抛物线的对称轴为直线x＝－2，设M(－2，t)．∵A(－6,0)，C(0，－6)，∴AC2＝62＋62＝72，AM2＝(－2＋6)2＋t2，CM2＝(－2)2＋(t＋6)2.当AC2＋AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72＋(－2＋6)2＋t2＝(－2)2＋(t＋6)2，解得t＝4，此时点M坐标为(－2,4)；当AC2＋CM2＝AM2时，△ACM为直角三角形，即72＋(－2)2＋(t＋6)2＝(－2＋6)2＋t2，解得t＝－8，此时点M的坐标为(－2，－8)；当CM2＋AM2＝AC2时，△ACM为直角三角形，即(－2)2＋(t＋6)2＋(－2＋6)2＋t2＝72，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17，此时点M的坐标为(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．综上所述，点M的坐标为