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1第一部分第七章课时25命题点图形翻折的性质及应用(2018·贵阳)如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB＝62cm.(1)AE的长为__43__cm；(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D′到BC的距离．解：(1)43.【解法提示】∵∠BAC＝45°，∠B＝90°，∴AB＝BC＝62cm，∴AC＝12cm.∵∠ACD＝30°，∠DAC＝90°，AC＝12cm，∴CD＝ACcos30°＝12÷32＝83cm.∵点E为CD边上的中点，∴AE＝12DC＝43cm.(2)∵在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝60°.∵E为CD边上的中点，∴DE＝AE，∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′＝60°.∵∠EAC＝∠DAC－∠EAD＝30°，∴∠EFA＝90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′，∴点E，D′关于直线AC对称，如答图，连接DD′交AC于点P，可得DD′⊥AE，2∴此时DP＋EP的值最小，且DP＋EP＝DD′.∵△ADE是等边三角形，AD＝AE＝43，∴DD′＝2×32AD＝2×6＝12.即DP＋EP的最小值为12cm.(3)如答图，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G.∵AC垂直平分ED′，∴AE＝AD′，CE＝CD′.∵AE＝EC，∴AD′＝CD′＝43.在△ABD′和△CBD′中，AB＝BC，BD′＝BD′，AD′＝CD′，∴△ABD′≌△CBD′(SSS)，∴∠D′BG＝45°，∴D′G＝GB．设D′G的长为xcm，则CG的长为(62－x)cm.在Rt△GD′C中，x2＋(62－x)2＝(43)2，解得x1＝32－6，x2＝32＋6(舍去)，∴点D′到BC边的距离为(32－6)cm.