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1第一部分第七章课时25如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为A(4,0)，C(0,2)，D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合)．(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；(2)当点P运动到与点B的距离最小时，求点P的坐标；(3)已知E(1，－1)，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．(1)证明：∵A(4,0)，C(0,2)，D为OA的中点，∴D点坐标为(2,0)，∴OC＝OD．又∵点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合)，∴∠COP＝∠DOP＝45°，∴△POC≌△POD，∴PC＝PD，即无论点P运动到何处，PC总与PD相等．(2)解：过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于点N，交BC于M点，OP交BC于H点，如答图1.∵OP平分∠AOC，∴∠COP＝∠NOP＝45°，∴△PHM，△COH和△PON都是等腰直角三角形，∴△PHB是等腰直角三角形，∴PM垂直平分BH，∴CH＝CO＝2，∴BH＝4－2＝2，∴PM＝12BH＝1，∴ON＝PN＝1＋2＝3，∴P点坐标为(3,3)．答图1答图2(3)解：连接CE交∠AOC的平分线于P点，连接PD，CD，ED，如答图2.2∵OC＝OD，OP平分∠AOC，∴OP垂直平分CD，∴PC＝PD，∴PD＋PE＝PC＋PE＝CE，此时△PDE的周长最小．设直线CE的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把C(0,2)，E(1，－1)分别代入，得b＝2，k＋b＝－1，解得k＝－3，b＝2，∴直线CE的解析式为y＝－3x＋2，而P点的横纵坐标相等，设P(a，a)，把P点坐标代入y＝－3x＋2，得a＝－3a＋2，解得a＝12，∴P点坐标为(12，12)．∵CE＝32＋1＝10，DE＝12＋12＝2，∴此时△PDE的周长为2＋10.