（贵阳专用）2019中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第六章 圆 课时23 与圆有关的计算真题

1第一部分第六章课时23命题点1弧长的相关计算1．(2018·贵阳)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E.设△OPE的内心为M，连接OM，PM.(1)求∠OMP的度数；(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．解：(1)∵△OPE的内心为M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，∴∠PMO＝180°－∠MPO－∠MOP＝180°－12(∠EOP＋∠OPE)．∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，∴∠PMO＝180°－12(∠EOP＋∠OPE)＝180°－12(180°－90°)＝135°.(2)如答图，连接CM，∵OP＝OC，OM＝OM，∠MOP＝∠MOC，∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO＝∠PMO＝135°，∴点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上．当点M在扇形BOC内时，过C，M，O三点作⊙O′，连接O′C，O′O，在优弧CO上取点D，连接DO.∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°－135°＝45°，∴∠CO′O＝90°，而OA＝2，∴O′O＝22OC＝22×2＝2，∴弧OMC的长为90π×2180＝22π.同理，当点M在扇形AOC内时，2弧ONC的长为22π，∴内心M所经过的路径长为2×22π＝2π.命题点2扇形面积的相关计算2．(2017·贵阳)如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)解：(1)如答图，连接OD，OC．∵C，D是半圆O上的三等分点，∴AD︵＝CD︵＝BC︵，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知∠AOD＝60°.∵OA＝OD，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2.∵DE⊥AO，∴DE＝3，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝60π×22360－12×2×3＝23π－3.3．(2016·贵阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝8.(1)利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，连接CD，OD，若AC＝CD，求∠B的度数；(3)在(2)的条件下，OD交BC于点E，求由线段ED，BE，BD︵所围成区域的面积．(其中3BD︵表示劣弧，结果保留π和根号)解：(1)如答图1，AP即为所求的∠CAB的平分线．答图1(2)如答图，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC．∵∠ADC＝∠B，∴∠CAD＝∠B．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°.(3)由(2)得，∠CAD＝∠BAD＝30°.∵∠DOB＝2∠DAB，∴∠BOD＝60°，∴∠OEB＝90°.如答图2，连接OD交BC于点E，连接CD．答图2在Rt△OEB中，OB＝12AB＝4，∴OE＝12OB＝2，∴BE＝OB2－OE2＝42－22＝23，∴S△OEB＝12OE·BE＝12×2×23＝23，S扇形BOD＝60π·42360＝8π3，∴线段ED，BE，BD︵所围成区域的面积为8π3－23.4．(2015·贵阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B＝30°，FO＝23.(1)求AC的长度；(2)求图中阴影部分的面积．(计算结果保留根号)4解：(1)∵OF⊥AB，∴∠BOF＝90°.∵∠B＝30°，FO＝23，∴OB＝OFtan30°＝6，AB＝2OB＝12.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝12AB＝6.(2)由(1)可知AB＝12，则AO＝6，即AC＝AO.在Rt△ACF和Rt△AOF中，AF＝AF，AC＝AO，∴Rt△ACF≌Rt△AOF(HL)，∴∠FAO＝∠FAC＝30°.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠OAD＋∠ADO＝60°.如答图，过点D作DG⊥AB于点G.∵OD＝6，∴DG＝33，∴S△ACF＋S△OFD＝S△AOD＝12×6×33＝93，即阴影部分的面积是93.5．(2014·贵阳)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝60°，连接AO，BO.(1)AB︵所对的圆心角∠AOB＝__120°__；(2)求证：PA＝PB；(3)若OA＝3，求阴影部分的面积．(1)解：120°.【解法提示】∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，5∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－60°＝120°.(2)证明：如答图，连接OP.在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，∴PA＝PB．(3)解：∵Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB＝12∠APB＝30°.在Rt△OAP中，∵OA＝3，∴AP＝33，∴S△OPA＝12×3×33＝932，∴S阴影＝2×932－120π×32360＝93－3π.