大学数学课件-柱_球坐标三重积分

第三节二、三重积分的计算机动目录上页下页返回结束三重积分2.利用柱坐标计算三重积分3.利用球坐标计算三重积分oxyz2.利用柱坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设,,,代替用极坐标将ryx),,zr（则就称为点M的柱坐标.zr200sinryzzcosrx直角坐标与柱面坐标的关系:常数r坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),,(zyxMr)0,,(yx机动目录上页下页返回结束0xzyM(r,,z)zrNcosrxxyzsinry(x,y,z)(r,,z)柱面坐标z=z..机动目录上页下页返回结束z动点M(r,,z)柱面Sr=常数：平面z=常数：MrSz柱面坐标的坐标面机动目录上页下页返回结束动点M(r,,z)半平面P柱面S=常数:r=常数：平面z=常数：zx0yzMrSP柱面坐标的坐标面.机动目录上页下页返回结束xzy0rdz平面z元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；柱面坐标下的体积元素机动目录上页下页返回结束柱面坐标下的体积元素xzy0rdz底面积：rdrd半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dz平面z+dz.机动目录上页下页返回结束xzy0rdz底面积：rdrd半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dz),sin,cos(zrrfzθrrdddzyxddddV=zrrddd.柱面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd),,(dV机动目录上页下页返回结束柱坐标计算适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束仍然是“先一后二”化为三次积分。二重积分用极坐标时方程和计算简单，的二重积分即可。第二步：计算极坐标下标下的二重积分；极坐积分后将三重积分化为第一步：先一后二，对分成两个步骤：注：用柱坐标求zfdv3)柱坐标:当积分域为标准的圆柱面时用柱面坐标化为累次积分的积分限都是常数。zyxzIddd0,1:222zzyx1zzyxIxyDyxddd4.Dxy:221yxz：下底122yx：上顶z=0用哪种坐标？.柱面坐标0xzyDxyzzrrθrπddd2101020例1.计算I=1机动目录上页下页返回结束柱坐标下三重积分举例例2围成1,0,4:,sin2222zzyxzdvyxI)2cos22(sinsin21sin2sinsin10,),()2(20,20:4:)1(1020201020201022分部积分有：间的柱体：为解：rdrrrdrrzdzrdrrdzdzrrdrdIzDrrDyxPDrDrrrjXYxy1xzy02-22限都是常数。则柱坐标下的累次积分是标准的圆柱体区域，注：在柱坐标下，如果zyxyxIddd11Ω22所围锥面,zzyx:0xzy1DxyzrθrrIDrd11dd12zrrrθrπdd1d110220)222(ln.Dxy:rz1rz=1锥面化为:r=z1.：下底：上顶用哪种坐标？柱面坐标例3.102)d111(2rrrπ..机动目录上页下页返回结束其中为由例4.计算三重积分xyx2220),0(,0yaazz所围解:在柱面坐标系下:cos202drrdcos342032acos20r20az0及平面2axyzo20dazz0dzrrzddd2原式398a柱面cos2r成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束ooxyz例5.计算三重积分解:在柱面坐标系下hhrz42dhrdrhrr2022)4(12hrrr202d120dzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面原式=机动目录上页下页返回结束3.利用球坐标计算三重积分机动目录上页下页返回结束适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.0xzyxyzM(r,,)rNyxz.cossinrsinsinrcosr..球面坐标3.利用球坐标计算三重积分机动目录上页下页返回结束cosON2000rcosONxOxN中在直角sinrONONM中在直角SrMyzx0r=常数:=常数:球面S动点M(r,,)球面坐标的坐标面机动目录上页下页返回结束球面坐标的坐标面Cr=常数:=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)Myzx0P=常数:锥面C.机动目录上页下页返回结束rdxzy0圆锥面圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d机动目录上页下页返回结束rdxzy0,sinsin,cossin(rrf元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素.半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dzyxzyxfddd),,(r2sindrddsindrddr2rcos)dVdV=机动目录上页下页返回结束rR对r:从0R积分,得半径任取球体内一点例1.zyxzyxfIddd),,(求0xzy机动目录上页下页返回结束.z,y,xRzyx:所围成的区域在第一卦限及平面球面000Ω22220xzyMrR对:从0积分，.例1.zyxzyxfIddd),,(求2π.z,y,xRzyx:所围成的区域在第一卦限及平面球面000Ω2222对r:从0R积分,得半径任取球体内一点机动目录上页下页返回结束R对:从0积分，扫遍球体.例1.zyxzyxfIddd),,(求2π得锥面0xzy对r:从0R积分,得半径任取球体内一点对:从0积分，2π机动目录上页下页返回结束.z,y,xRzyx:所围成的区域在第一卦限及平面球面000Ω22220xzyR.0I=V当f=1,.例1.zyxzyxfIddd),,(求rφrφrθφrθφrfφθIRππdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020.z,y,xRzyx:所围成的区域在第一卦限及平面球面000Ω2222对r:从0R积分,得半径任取球体内一点得锥面对:从0积分，2π对:从0积分，扫遍球体2π机动目录上页下页返回结束球系下确定积分限练习1为全球体2为空心球体3为上半球体4为右半球体5为球体的第一、二卦限部分rφrfφθIRππdsindd02020为洞添加RzyxrφrfφθIRRππdsindd22020rφrfφθIRππdsindd022020rφrfφθIRππdsindd0200rφrfφθIRππdsindd02200.....Rzyx.例2.zyxzyxfIddd),,(求机动目录上页下页返回结束计算已知)(.zyx,aazyx:z0xya化为球系下的方程r=2acos4πφ.M.cos20:ar2040πφrM例3.zyxzyxfIddd),,(rφrφrθφrθφrfφθIφsaππdsin)cos,sinsin,cossin(ddco2024020机动目录上页下页返回结束例4.计算三重积分解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr020其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr机动目录上页下页返回结束262020),sin,cos(rrdzzrrfrdrdI柱标系：例52222,6),,(yxzyxzdvzyxf：其中为三次积分，积分在三种坐标系下化三重22222264422),,(yxyxxxdzzyxfdydxI解：由图知：直角系：2yxz226yxz22yxz6D例52222,6),,(yxzyxzdvzyxf：其中为三次积分，积分在三种坐标系下化三重的变化范围与下面求球标系：r,20:2yxz226yxz22yxz6D222222sin6cos)(6404sincosrryxzrryxz由由drrrrrfddIrrsin)cos,sinsin,cossin(),0(sin2sin24coscos2sin2sin24coscos04020222222舍去例6.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,,cos0:3ar利用对称性,所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar,202020dsin20d4yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xozyzxar机动目录上页下页返回结束利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的一般地，当积分区域关于xoy平面对称，且被积函数),,(zyxf是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数),,(zyxf是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.奇偶性．机动目录上页下页返回结束解2)(zyx)(2222zxyzxyzyx例7.计算dxdydzzyx2)(其中是由抛物面22yxz和球面2222zyx所围成的空间闭区域.其中yzxy是关于y的奇函数,且关于zox面对称,0)(dvyzxy,机动目录上页下页返回结束且关于yoz面对称,,0xzdv由对称性知dvydvx22,则dxdydzzyxI2)(,)2(22dxdydzzx同理zx是关于x的奇函数,机动目录上页下页返回结束在柱面坐标下：,20,10r,222rzr,122yx投影区域xyD：2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60机动目录上页下页返回结束内容小结zyxdddzrrddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),,(),,(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),,(ddd),,(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;机动目录上页下页返回结束2,zxz1.将.)(),,(Czyxf用三次积分表示,,2,0xx,42,1yxyvzyxfId),,(其中由所提示:xy2121