大学复变函数课件-共形映射

第七章共形映射前面我们借助于积分、级数等方法研究了解析函数，这一章将用几何的思想来讨论解析函数的性质和应用。从几何上看：复变函数)(zfw是从复平面z到复平面w之间上的一个映射。而解析函数所确定的映射（解析变换）是具有一些重要的性质。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。第一节解析变换的特征首先，讨论一般解析变换的一些性质：定理7.1设)(zfw在区域D内解析且不恒为常数，则D的像)(DfG也是一个区域。证明：首先证明G是一个开集。设Gw0，则有Dz0使得)(00zfw。由解析函数零点的孤立性，存在以0z为心的某个圆周C，使得C及C的内部全包含在D内，除0z外，在C及C的内部，0)(wzf都不为零，故存在,0在C上|)(|0wzf.对于满足||0ww的w，在C上，有|||)(|00.由Rouche定理，在C的内部，00)()(和0)(wzf在C内有相同个数的零点，即0w的邻域||0ww包含在D内。由于)(zf是连续的，所以G显然是连通的。下面研究单叶解析函数的映射性质。我们知道：设函数w=f(z)在区域D内解析，并且在任意两不同点，函数所取的值都不同，则称它为区域D上的单叶解析函数，简称即为单叶函数。利用证明定理7.1的方法，我们可以得到：引理7.1设函数f(z)在0z点解析，且0z为0)(wzf的p阶零点，则对充分小的正数，存在着一个正数，使得当||00ww时，wzf)(在||00zz内有p个一阶零点。例1、函数zw及zw，（其中,是复常数，且0）是z平面上的单叶解析函数，它们把z平面映射成w平面，。例2、zew在每个带形,2Imaza内单叶解析，并且把这个带形映射成w平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，其中a是任意实常数。推论1、设函数f(z)在区域D内单叶解析，那么在D内任一点，.0)('zf证明：假定,0)(',00zfDz由引理7.1，得出与单叶相矛盾得结论。上述推论的逆命题不成立，例如zew的导数在z平面上不为零，而该函数在整个z平面上不是单叶的。利用引理7.1，我们有推论2设函数)(zfw在0zz解析，并且0)('0zf，那么f(z)在0z的某邻域内是单叶的。如果)(zfw在区域D内单叶解析，根据定理7.1，它把区域D双射到区域)(DfG.f(z)在G内所确定的函数为)(wz.并且有定理7.6设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且)(DfG，那么)(zfw在G内所确定的函数)(wz是单叶的，并且如果)(,000wzGw，那么.)('1)('00zfw证明：任给0，选取引理7.1中的正数及，使得，那么，当||0ww时，|)()(|0ww，因此)(wz在G内任一点连续。下面证明导数公式成立。当Gw，并且)(wz时，我们有0,zzDz。于是,1)()(000000zz因为当0ww时，)()(00zzwz，所以,)('1)()(lim1lim1)()(lim0000000000zfzzzfzfzz即定理的结论成立。设函数w=f(z)是区域D内的解析函数.设)(,000zfwDz,0)('0zf.考虑在过0z的一条简单光滑曲线C：),()()()(btatiytxtzz其中x(t)及y(t)是z(t)的实部和虚部.设]),[()(000batztz。由于),(')(')('tiytxtzdtdz曲线C在0zz的切线与实轴的夹角是)('0tz的幅角)('0tzArg.实际上，作从曲线C上之点)(00tzz到)(11tzz的割线，由于割线的方向与向量0101ttzz的方向一致，则向量0101ttzz与实轴的夹角为0101argttzz，由于C是光滑曲线，那么当1t趋近于0t时，割线确有极限位置，即为曲线C在0zz的切线的位置。故极限,0)('lim0010101tzttzztt存在。因此下列极限也存在：),('argarglim0010101tzttzztt它就是曲线C在)(00tzz处切线与实轴之间的夹角。由于)('))(('00tztzfdtdw，函数w=f(z)把简单光滑曲线C映射成过)(00zfw的一条光滑曲线：),())((btatzfw它在0w的切线与实轴之间的夹角是),('arg))(('arg)('))(('arg0000tztzftztzf因此，在0w处的切线与实轴的夹角及C在0z处的切线与实轴之间的0z0ww0yxzz00vu0wC夹角相差)('arg0zf，而这一数值与曲线C的形状及在0z处切线的方向无关，因此，称其为旋转角。设在D内过0z还有一条简单光滑曲线)(:11tzzC，函数w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线))((:11tzfw。和上面一样，1C与1在0z及0w处切线与实轴的夹角分别是)('arg01tz及),('arg))(('arg)('))(('arg01010101tztzftztzf所以，在0w处曲线到曲线1的夹角恰好等于在0z处曲线C到曲线1C的夹角：),('arg)('arg)('))(('arg)('))(('arg001000101tztztztzftztzf特别，把单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性。下面说明解析函数模的几何意义。根据假设，我们有,|||)()(|lim|)('|0000zzzfzfzfzz由于|)('|0zf是比值|||)()(|00zzzfzf的极限，它可以近似地表示这种比值。在w=f(z)所作映射下，||0zz及|)()(|0zfzf分别表示z平面'C11yx0z0Cvu0w001011上向量0zz及w平面上向量)()(0zfzf的长度，这里向量0zz及)()(0zfzf的起点分别取在0z及)(0zf。当较小||0zz时，|)('|0zf近似地表示通过映射后，|)()(|0zfzf对||0zz的伸缩倍数，而且这一倍数与向量0zz的方向无关。把|)('|0zf称为f(z)在点0z的伸缩率。现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义。设w=f(z)是在区域D内解析的函数，0)(',),(,00000zfDzzfwDz，那么w=f(z)把0z的一个邻域内任一小三角形映射成w平面上含0w的一个区域内的曲边三角形。这两个三角形的对应角相等，对应边近似成比例。因此这两个三角形近似地是相似形。此外，w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆||0zz近似地映射成圆),0(|)('|||00zfww定义7.1如函数)(zfw在点0z的某邻域内有定义，且在点0z处具有：（1）伸缩率不变性，（2）过0z的任意两曲线的夹角在变换)(zfw下，既保持大小，又保持方向，则称函数)(zfw在点0z是保角的，或称)(zfw是在点0z的保角变换。如果)(zfw在区域D内处处保角的，则称)(zfw在区域D是保角的，或称)(zfw是在区域D内的保角变换。由上面的讨论，我们有定理7.4如函数)(zfw是区域D内的解析函数.则它在导数不为零的点处是保角的。定义7.2如函数)(zfw在区域D内是单叶且保角的，则称变换)(zfw在区域D内是共形的，也称它为区域D内的共形映射。对于单叶解析函数，我们得到：推论7.5如函数)(zfw在区域D内单叶解析函数的.则它在区域D内是保角的。第二节分式线性变换分式线性函数是指下列形状的函数：,)(dzcbzazLw其中dcba,,,是复常数，而且0bcad。条件0bcad是必要的，否则变换)(zL恒为常数。当0c时，称它为整线性函数。分式线性函数的反函数为,awcbwdz也是分式线性函数，其中0))((bcad。当0c时，所定义的分式线性变换是把z平面双射到w平面。为了以后讨论方便，把分式线性变换的定义域推广到扩充复平面C上。当0c时，在z处定义w；当0c时，在zcdz,处分别定义为caww,；这样分式线性变换可看成C到C的一个双射。一般分式线性变换是由下列四种简单变换函数叠合而得，如把z及w看作同一个复平面上的点，且有（1）、azw（a为一个复数）确定了一个平移；（2）、zewi（为一个实数）确定一个旋转；；（3）、zrw（r为一个正数）确定一个以原点为相似中心的相似映射；（4）、zw1是由映射zz11及关于实轴的对称映射1zw复合而成的。事实上，我们有：),(cabzdadbazw0)().0(1cdczcadbccadzcbzaw例7.4试证：除恒等变换外，一切分式线性变换都有两个不动点（考虑重数）。证明：分式线性变换都有不动点一定满足方程dzcbzaz即0)(2bzadzc如0c，显然上面的方程有两个根。当0c，则0d，方程变为0)(bzad。进一步，如,da有)/(adbz，同时可以看到：变换把z映射成w；如da,则0b，z为二重不动点。接下来，讨论分式线性变换的映射性质。平移、旋转及以原点为相似中心的相似映射都是保角的，且在扩充复平面上是单叶的，从上面讨论知道：仅需考察zw/1（反演变换）的共形性质。如果,0z，则012zdzdw这时，反演变换是保角的。在,0z处，先给出：定义7.3二曲线在无穷远点处的交角为，如果这两条曲线在反演变换下的像曲线在原点处的交角是.由该定义知道：反演变换在0z及z处是保角的。所以我们得到：定理7.7分式线性变换在扩充复平面上是共形的。定义7.4扩充复平面上有顺序的四个相异点4321,,,zzzz构成的量231324144321:),,(zzzzzzzzzzzz称为交比。定理7.8在分式线性变换下，四个点的交比不变。即分式线性函数把扩充z平面上任意不同四点4321,,,zzzz分别映射成扩充w平面上四点4321,,,，那么),,,(),,,(43214321.证明：设,4,3,2,1,idzcbzawiii则))(())(())((dczdczdzcbzadzcbzawwjiijjiji))(())((dzcdzcbcadzzjiji故定理成立。定理7.9设分式线性变换将扩充z平面上三个不同的点321,,zzz指定变为扩充w平面上三个点321,,，则此分式线性变换能被唯一确定，并且可以写成),,,(),,,(321321.规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。定理7.10在扩充复平面上，分式线性变换把圆映射成圆。证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及zw1型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射zw1也把圆映射为圆即可。在圆的方程,0)(22dcybxyxa（如果a=0，这表示一条直线）中，代入,2,2,22izzyzzxzzyx则得圆的复数表示：,0dzzzaz其中a,b,c,d是实常数，)(21icb是复常数