大学复变函数课件-复变函数的积分

第三章复变函数的积分复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明。本章要建立的柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论的非常重要的基本定理和公式。第一节、复积分的概念及其简单性质1、复变函数积分的定义：以下涉及的曲线均指光滑或逐段光滑的曲线，逐段光滑的简单闭曲线简称周线。定义3.1设在复平面C上有一条连接0z及Z两点的简单曲线C。设,,fzuxyivxy是在C上的连续函数。其中,uxy及,vxy是fz的实部及虚部。把曲线C用分点Zzzzzznn,...,,,1210分成n段更小的弧，在这里分点),...,2,1,0(nkzk是在曲线C上按从0z到Z的次序排列的。如果k是kz到1kz的弧上任意一点，那么和式))((111knkkkzzf，11nkkfz也可以写成1111[(,)(,)][()()]nkkkkkkkkkuivxxiyy或者0z1z1kzkkzZzn1nzC111111111111(,)()(,)()[(,)()(,)()nnkkkkkkkkkknnkkkkkkkkkkuxxvyyivxxuyy在这里kkkkxy、及、分别表示kkz与的实部与虚部。按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点kz的个数无穷增加，而且22111max{||()()0|0,1,2,...,1}0kkkkkkzzxxyykn时，上面的四个式子分别有极限：(,)d,(,)d,(,)d,(,)d,CCCCuxyxvxyyvxyxuxyy这时，我们说原和式有极限(,)d(,)d(,)d(,)d,CCuxyxvxyyivxyxuxyy这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为()dCfzz于是，我们有定理3.1若函数,,fzuxyivxy沿曲线C连续,则)(zf沿C可积,且有()d(,)d(,)d(,)d(,)d,CCCfzzuxyxvxyyivxyxuxyy2、复变函数积分的计算问题如果C是简单光滑曲线：xt，yt0ttT，并且0t及T相应于0z及Z，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成0(,)'()dTtutt，因此，我们有0()d[(,)(,)]['()'()]dTCtfzzuivtitt我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有0()d(())'()dTCtfzzfztztt，当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。3、复变函数积分的基本性质复变函数积分的基本性质：设fz及gz在简单曲线C上连续，则有（1）()d()d,CCfzzfzz其中是一个复常数；（2）[()()]d()d()d;CCCfzgzzfzzgzz（3）12()d()d()d...()dnCCCCfzzfzzfzzfzz，其中曲线C是有光滑的曲线12,,...,nCCC连接而成；（4()d()d,CCfzzfzz其中如果曲线用方程：0()()zztttT表示，那么曲线C就由0()()zztTtt给出。即积分是在相反的方向上取的。如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）()()()cccfzdzfzdzfzds定理3.2(积分估值)如果在C上，|f(z)|M，且连续,而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有|()d|CfzzML，证明：因为111111|()()|||nnkkkkkkkfzzMzzML两边取极限即可得结论。例1、设C是连接0z及Z两点的简单曲线，那么0cdzZz，22012czdzZz如果C是闭曲线，即0Zz，那么积分都是零。例2、设C是圆z，其中是一个复数，是一个正数，那么按反时针方向所取的积分izzC2d。证明：令iez，于是ddiiez，从而.2dd20iizzC第二节柯西积分定理1、柯西积分定理：（证明中用到了第2部分的引理）定理3.3设fz是单连通区域D的解析函数，设C是D内任一条简单闭曲线（周线），那么()0Cfzdz,其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。证明：在C上任取一点*，可以作出圆盘：*000{|||}(0)KzzD,因为圆盘是凸区域，由引理2.2，fz在0K内有原函数)(0zF。由于C是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖定理，存在有限多个圆盘覆盖了C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为121,,...,nKKK并且用121(),(),...,()nFzFzFz表示fz在这些圆盘中的原函数。取1121212111,,...,,nnnnnCKCKKCKKCKK其中1121,,...,,nn是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有1111111()()[()()(,)kknCknkkkknnkfzdzfdFFFF这里，用1kk表示沿C从k到1k的弧上的积分，用1kk表示从k到1k1k的线段上的积分。由引理2.3，有11()()kknCkfzdzfd因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1，得()0Cfzdz；定理3.4设C是一条简单闭曲线，函数fz在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么()0Cfzdz。推论3.5C是在D内连接0z及Z两点的任一条简单曲线，那么沿C从0z到Z的积分值由0z及Z所确定，而不依赖于曲线C，这时，积分记为0()zzfd.证明：设1C是在D内连接0z及Z两点的另一条简单曲线。则1'CCC是D内的一条简单闭曲线，由（1），有'()0Cfzdz,而111'()()()()()()CCCCCCCfzdzfzdzfzdzfzdzfzdzfzdz所以定理的结论成立。定理3.6设fz是单连通区域D的解析函数，那么fz在D内有原函数。证明：取定DzD任取,，由定理3.1，得()()zFzfd是在D内确定得一个函数。取0,zD并取zD与'D充分接近，把00()()()()zzFzFzfdfdD中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接0z及z的线段的并集。于是有00000()()()()[()()]zzFzFzzzfzffzd这里积分是沿0z及z的联线取的，同样可证，有00'()()Fzfz。例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且Dzz,0，那么0110111[]1()()()zmmmzdmazaza其中m是不等于1的整数。另外，还设D在复平面上沿从a出发的任何射线割开而得的区域内，我们有00ln()ln(),zzdzazaa其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分支在z及0z的值。注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分；注解2、区域的单连通性不能直接取掉。注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有n+1条简单闭曲线,,...,,10nCCC曲线nCC,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的0C内区域，nCCC,...,,10围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域D。设fz在D上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有()0Cfzdz其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿0C按反时针方向，沿nCC,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。因此01()()()...()0nCCCCfzdzfzdzfzdzfzdz也有：01()()...()nCCCfzdzfzdzfzdz注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后，我们总是规定取正向，除非另有说明；注解5、以上结论的证明见右图：注解6、多连通区域内的不定积分与多值函数：设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接0z及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么函数：0()()zzFzfd是多值的。可是z当属于包含在D内的某一单连通区域'D时，取曲线如下：从0z沿一个固定的简单曲线到'D内一点1z，然后从1z沿在'D内一条简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在'D内解析。改变从10zz到的曲线，我们能够得到不同的解析函数；它们是F(z)在'D内的不同解析分支。例2、在圆环)0(||:2121RRRzRD内，1()fzz解析，在D内取定两点0z及1z。作连接0z及1z的两条简单曲线1C及2C，如图，取定Argz在0z的值为0argz。当z沿1C从0z连续变动到1z时，z的幅角从0argz连续变动到1argz。于是当z沿2C从0z连续变动到1z时，z的幅角从0argz连续变动到2arg1z。现在求1沿1C的积分。令ie，则iidedied从而111101010ln||ln||(argarg)lnlnCCCddidzzizzzz同样求得210lnln2.Cdzzi这样，在含1z的一个单连通区域（在D内）内，相应21CC及，多值函数0()zzdFz有两个不同的解析分支1110lnln2(1)(1,2)kzzCzzdddzzkik相应于连接0z及1z的其它曲线，还可得到Fz在D内的其它解析分支，Fz就是对数函数Fz。第二节、柯西积分定理引理2.1设fz是在单连通区域D内的解析函数。设C是D内的一个多角形的周界。那么()d0Cfzz,在这里沿C的积分是按反时针方向取的。证明：先对C是三角形周界的情形进行证明，然后证明一般情形。（1）C为三角形的周界设|()d|fzzM，下面证明M=0。等分给定的三角形的每一边，两两连接这些分点，给定的三角形被分成四个全等的三角形，它们的周界分别是1234,,,，我们显然有：1234()d()d()d()d()dfzzfzzfzzfzzfzz因此，沿周界1234,,,的积分中，至少有一个的模不小于M/4。不妨假设这个周界为1：1()d|,4Mfzz对于这个三角形周界为1，我们也把它等分成四个全等的三角形，其中一个的周界(2)满足：(2)2()d|,4Mfzz把这种作法一直进行下去，我们得到具有周界：(0)(1)(2)()1,,,...,,...n一个三角形序列，其中每一个包含后一个，而且有下面的不等式：()|()d|,(0,1,2,...)4nnMfzzn，用U表示周界的长度，于是周界()n的长度是(1,2,...)2nUn。现在估计()()dnfzz的模。由于三角形序列中每一个包含它后面的全部三角形，而且0()2nUn，因此由数学分析中的闭区域套定理，得到存在一点0z属于序列中的所有三角形。又因fz在0z有导数0'()fz，所以0,0，使得当zD并且00||zz时000()()'()fzfzfzzz,于是当zD并且00||zz