大学物理课件：第十七章

1第十七章量子力学基础一、基本要求1.了解德布罗意的物质波概念，理解实物粒子的波粒二象性，掌握物质波波长的计算。2.了解不确定性原理的意义，掌握用不确定关系式计算有关问题。3.了解波函数的概念及其统计解释，理解自由粒子的波函数。4.掌握用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱的简单问题，并会计算一维问题中粒子在空间某区间出现的概率。5.了解能量量子化、角动量量子化和空间量子化，了解斯特恩-盖拉赫试验及微观粒子的自旋。6.理解描述原子中电子运动状态的四个量子数的物理意义，了解泡利不相容原理和原子的壳层结构。二、基本内容1.物质波与运动的实物粒子相联系的波动，在此意义下，微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。描述其波动特性的物理量v、和描述其粒子特性的物理量E、p由德布罗意关系hEvph联系起来，构成一幅统一的图像。2.波函数对具有波粒二象性的微观粒子进行描述所使用的函数，一般写为(,)tr，波函数的主要特点：（1）波函数必须是单值、有限、连续的；（2）*(,)(,)1ttdxdydzrr（归一化条件）；（3）*(,)tr，(,)tr表示粒子在t时刻在（x、y、z）处单位体积中出现的2概率，称为概率密度。特别注意自由粒子的波函数：/()iEtAep.r式中P和E分别为自由粒子的动量和能量。3.不确定性原理1927年海森堡提出：对于一切类型的测量，不确定量x和xp之间总有如下关系：xxp2同时能量的不确定量E与测定这个能量所用的时间（间隔）t的关系为：Et2不确定性原理完全起源于粒子的波粒二象特性，与所用仪器与测量方法无关。4.薛定谔方程波函数(,)tr所满足的方程。若已知微观粒子的初始条件，则可由薛定谔方程决定任一时刻粒子的状态。在势场(,)Utr中，薛定谔方程可写为222m(,)Utrti若势能函数()UUr与时间无关，则可将(),tr写成()()ftr，其中()r满足定态薛定谔方程222m()r+()Ur()r=E()r而)(tf=Etie，此时有(),tr、)t=()rEtie这种形式的波函数称为定态波函数，它所描写的微观粒子的状态则称为定态。在一维情况下，定态薛定谔方程成为222()()()()2dxUxxExmdx5.一维无限深势阱中粒子的定态薛定锷方程及波函数3定态薛定锷方程2222dEmdx（0xa）定态波函数2()sinnnxxaa（n＝1，2，3，….）6.描述原子中电子运动状态的四个量子数描述原子中电子运动状态的四个量子数如表17－1表17－1四个量子数量子数名称符号可取值物理意义及作用主量子数n,2,1n3，…..决定电子能量的全部或主要部分，n越小，能级越低角量子数l对于给定的nl0，1，...,1n决定电子绕核运动的角动量的值，)1(llL，决定电子能量的次要部分，n相同，l越小，能级越低磁量子数m对于给定的l01...ml，，，，确定L在外磁场方向的分量Lz＝m自旋量子数smsm21决定电子自旋角动量S的空间取向，Sz=sm7.泡利不相容原理1925年泡利提出：一个原子系统内，不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的一组量子数n(,l,m,sm)。不相容原理是确定电子组态和原子壳层结构的重要理论依据。在结合能量最低原理，就可以对元素周期表进行成功的解释。三、习题选解17-1试求出质量为0.01kg，速度为10m·s-1的一个小球的德布罗意波长。解：1001.010626.634vmhphm331063.6m417-2若光子和电子的德布罗意波长均为0.5nm，试求：（1）光子的动量和电子的动量之比。（2）光子的动能和电子的动能之比。解：给定波长为的光子的动量和能量为hpphchvEP相同波长电子的动量为hpe所以(1)波长同为5.0nm的光子和电子动量之比为1eppp(2)高速运动电子的动能为总能量和静能量之差20cmEEk由相对论动量与能量关系有42022cmpcE2042022cmcmpcEk而光子静质量为0，其动能即为其总能量hcEp所以，波长同为5.0nm的光子和电子动能之比为22042022102.4cmcmhcchcEEkp17-3试证明，当一个粒子的能量远大于其静止能量时，这个粒子的德布罗意波长与具有相同能量的光子的波长大致相等。证：能量为E的光子波长为Ehcp5同样能量的电子波长为phe对于高速运动的粒子有vmp2201cmvv222021ccmmcEv将E平方，再减去p的平方乘c的平方4202222202242022211cmccmccmpcEvvv42021cmEcp这样能量为E的电子的波长为4202cmEhcphe由题意E20cm因而2202202)(11EcmEhccmEhcepEhc结论得证。17-4一束带电粒子经206V的电势差加速后，测得其德布罗意波长为0.002nm，已知这带电粒子所带电量与电子电量相等，求这粒子的质量。解：设粒子经电势差U加速后速度为eUm221v6电子的动量为hmpv由此可以解出222eUhm271067.1kg这个粒子是质子。17-5实物粒子的德布罗意波与电磁波有什么不同？解释描述实物粒子的波函数的物理意义。答：实物粒子的德布罗意波反映粒子在空间各点分布的规律；电磁波反映的是电场强度与磁场强度在空间各点的分布。实物粒子的波函数的物理意义，是波函数的绝对值的平方表示粒子在空间某一区域出现的概率密度。17-6试用球坐标表示的粒子波函数为),,(r，试求：（1）粒子在球壳（r.drr）中被观测到的概率；（2）在),(方向上的立体角元dddsin中找到粒子的概率。解：（1）在球坐标体积元d发现一个粒子的概率为rd(，，)=*r(，，)r(，，)d球坐标体积元d=drrddrsin=drdrddrdr22sin其中dddsin的取值范围为0到，的取值范围为0到2粒子在（r.drr）的球壳中被观测到的概率是指在r和drr之间，和取全部范围的概率020sin)(drd*r(，，)r(，,)ddrr2（2）在体积元dddsin中被测到的概率为7),(d=dddrrrrsin),,(),,(02*ddrrrr02*),,(),,(17-7一个质量为m的粒子，约束在长度为L的一维线段上。试根据不确定关系估算这个粒子所能具有的最小能量的值。由此，试估算在直径10-14m的核内质子和中子的最小动能。解：由海森堡不确定原理2xp粒子被约束在长度为L的势阱中运动，x的最大不确定范围为L。即Lxmax因而Lp2minP的最小不确定范围在2/minp到2/minp，因为粒子在正负两个方向运动的概率是等同的。因此P的最小取值为2/minp。2minminpp因而，其动能的最小值为222minmin322mLmpE对于质子和中子271067.1mkg1410Lm代入数据22min32mLE2214272344)10(1067.132)10055.1(J=4103.1eV817-8试根据关系式2xp证明，对于在圆周上运动的一个粒子，2L。其中L是角动量的不确定量，是角度的不确定量。证：如图所示，设粒子在平面上做圆周运动，当粒子在某一微小线段上运动时，可以看成在此线段上粒子做的是直线运动。在l线元中动量的不准确量是p，满足不确定原理题17-8图2lp即()2mrv于是()2mrv2L17-9如果一个电子处于原子某能态的时间为10-8s，这个原子的这个能态的能量的最小不确定量是多少?设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV，试确定所辐射光子的波长及这波长的最小不确定量。解：按不确定性原理：2tE有2683410528.01014.341063.62tEJ710329.0eV按光子能量与波长的关系式hcE，有7198341067.31060.139.31031063.6Ehcm367nm故有波长的最小不确定值为219268342)1060.139.3(10528.01031063.6EEhcm96151055.31055.3mnm17-10在发现中子之前，人们曾经认为原子核是由A个质子和)(ZA个电子组成，试用不确定关系证明电子不可能是原子核的结构单元。解：原子核线度大约10-14m，电子限制在核内，位置不确定度为1410xm,由不确定性原理~xp，动量的不确定度为24143410~1010~~xpkg·m·s1电子的动量不可能比它的不确定度小，据此估计电子动能约为20~2042022cmcmpcEkMeV通常核内电子衰变的动能小于1eV。所以简单的估计排除电子处在核内的可能性。17-11试证明：若势能函数)(xU具有空间反射不变性，即)()(xUxU而)(x是一维定态薛定谔方程)()()](2[222xExxUdxdm的相应于能量本征值E的解，则)(x也是该方程的相应于该能量本征值E的解。证：当xx时，定态的薛定谔方程变为)()()()()(2222xExxUxxddm由于2222)(dxdxdd按题意有)()(xUxU所以定态薛定谔方程可化为)()()()(2222xExxUxdxdm10由此可以看出)(x与)(x一样都满足同一定态薛定谔方程，且属于同一能量本征值E。17-12一维运动的粒子，处于如下波函数所描述的状态0)(xAxex00xx式中0，（1）将此波函数归一化；（2）求粒子坐标的概率分布；（3）在何处发现粒子的概率最大。解：（1）按归一化条件1)(20dxx得dxexAdxxx220022)(02022222121dxxeexAxx0221dxxeA=020222121dxexeAxx=dxeAx02222=0222212xeA=1432A所以232A02)(23xxex00xx（2）粒子坐标的几率分布函数为1104)()(2232xexxx00xx（3）由0)(dxxd，得08)2(423223xxxeex0)1(2xxex解出得1,,0321xxx当0x和x时，0)(x，为极小值，1x时24e为极大值，所以在1x处发现粒子的概率为最大。17-13如在势能)(rU上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化为什么观察不到（选择无穷远处的U为0）。解：设在势能)(rU上加一常数C，则薛定谔方程为),(),(])([),(222tritrCrUtrm设/)()(),(tcEiertr，代入上式得定态方程)()()()(222rErrUrm在定态方程中没有C出现，故定态解没有发生变化。仅在),(tr中多了一项icte，该项在2)