大学物理课件：第七章

第七章静电场中的导体和电介质一、基本要求1．掌握导体静电平衡的条件及静电平衡时导体电荷的分布规律；2．学会计算电容器的电容；3．了解介质的极化现象及其微观解释；4．了解各向同性介质中D和E的关系和区别；5．了解介质中电场的高斯定理；6．理解电场能量密度的概念。二、基本内容1．导体静电平衡（1）静电平衡条件：导体任一点的电场强度为零（2）导体处于静电平衡时：①导体是等势体，其表面是等势面；②导体表面的场强垂直于导体表面。（3）导体处于静电平衡时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布在导体的表面上。2．电容（1）孤立导体的电容qCV电容的物理意义是使导体电势升高单位电势所需的电量。电容是导体的重要属性之一，它反映导体本身具有储存电荷和储存电能的能力。它的大小仅由导体的几何形状、大小和周围介质决定，与导体是否带电无关。（2）电容器的电容BAVVqCq为构成电容器两极板上所带等量异号电荷的绝对值。BAVV为A、B两极间电势差。电容器电容与电容器形状、大小及两极间介质有关，与电容器是否带电无关。（3）电容器的串并联串联的特点：各电容器的极板上所带电量相等，总电势差为各电容器上电势差之和。等效电容由121111nCCCC进行计算。并联的特点：电容器两极板间的电势差相等，不同电容器的电量不等，电容大者电量多。等效电容为12nCCCC。（4）计算电容的一般步骤①设两极带电分别为q和q，由电荷分布求出两极间电场分布。②由BABAVVdEl求两极板间的电势差。③根据电容定义求BAVVqC3．电位移矢量D人为引入的辅助物理量，定义0DEP，D既与E有关，又与P有关。说明D不是单纯描述电场，也不是单纯描述电介质的极化，而是同时描述场和电介质的。定义式无论对各向同性介质，还是各向异性介质都适用。对于各向同性电介质，因为0ePE，所以0rDEE。4．D，E，P之间的关系0DEP对各向同性电介质DE。D的高斯定理：idqDSD线起于正自由电荷，止于负自由电荷。5．电场能量12eDE12eeVVWdVdVDE三、习题选解7-1如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷q，金属球半径为R，已知q与金属球心间距离为r。试求：（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度E及此时球心处的电势V；（2）若将金属球接地，球上的净电荷为多少？题7-1图解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度E与点电荷q在球心处产生的电场强度E大小相等，方向相反。204rqEEE的方向由O指向q点电荷q在球心处的电势为rqVq04金属球表面感应电荷在球心的电势为RV，由于球表面感应电荷量总和为零，ssRdqRRdqV041400故球心电势为qV和RV的代数和rqVVVRq04（2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势0V。设球上净电荷为q。球面上的电荷在球心处的电势为ssRRqdqRRdqV0004414点电荷q在球心的电势为rqVq04由电势叠加原理0qRVVVqRVVrqRq0044qrRq7-2如图所示，把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷Q的金属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距是d，忽略边缘效应。求：（1）B板不接地时，两板间的电势差；（2）B板接地时，两板间电势差。ABQSσ1σ2σ3σ4d题7-2图解：（1）如图，设A、B两金属板各表面的面电荷密度分别为1、2、3、4。由静电平衡条件可知02222022220403020104030201解得3241又430QSS21故1242QS32QS两板间为匀强电场，电场强度31240000022222QES两板间的电势差SQdEdU02（2）若B板接地，则有SQ32410两板间的电场强度3200022QES两板间的电势差SQdEdU07-3BA、为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S，板间距离为d，使BA、板带电分别为Aq、Bq，且ABqq。求：（1）A板内侧的带电量；（2）两板间的电势差。解：（1）如图，设A、B两板各表面的电荷面密度分别为1、2、3、4。由题意BAqSSqSS4321①又由静电平衡条件（参考题7-2）得1423②题7-3图由①、②解得142322ABABqqSqqS故Ａ板内侧的带电量222BAqqSq（2）两板间为匀强电场，电场强度31240000022222ABqqES两板间电势差02ABqqUEddS7-4如图所示，半径为1R的导体球带有电荷q，球外有一个内半径为2R的同心导体球壳，壳上有电荷Q。（1）求球与壳的电势差12U；（2）用导线把球和壳连接在一起后，其电势为多少？解：（1）导体球与球壳之间的电场强度为204rqE球与壳的电势差212120124RRRRrdrqEdrU题7-4图)11(4210RRq（2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。静电平衡时，球与球壳为等势体，1221VVV。所有电荷（Qq）均匀分布在球壳外表面。球壳外电场强度为204rqQE球与球壳的电势22200244RRQqdrQqVEdrrR7-5如图所示，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构成。设圆柱体的电势为1V，半径为1R，圆管的电势为2V，内半径为2R，求它们之间离轴线为r处(12RrR)的电势。解：设圆柱体表面沿轴线单位长度所带电量为，在距轴线为r的任意一点P的场强为rE0212RrR题7-5图P点与圆柱体的电势差111001ln22rrPRRdrrVVEdrrR①圆管与圆柱体的电势差2121120021ln22RRRRRRrdrEdrVV②由①、②两式消去，得P点电势)ln()ln()(121211RRRrVVVVP7-6实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，E垂直于地面向下，大小约为1100mV。试求：（1）地面的面电荷密度；（2）地面的每平方米所受的库仑力。解：设地球带电荷q。由高斯定理，地球表面电场204eRqEERqe204电荷q均匀分布于地球表面，则地面面电荷密度21002201085.844mCERERSqee地面每平方米受库仑力NEF81085.87-7如图所示，一平行板电容器两极板间充满了电容率为的均匀介质，已知极板上的面电荷密度分别为0和0。略去边缘效应。求电介质中的电场强度E、极化强度P、电位移D，介质表面的题7-7图极化电荷面密度。解：对于平行板电容器，两板间的电场强度为00En其中0n为沿极板法线方向的单位矢量，方向从0极板指向0极板。两极板电介质中的电位移为00DEn极化强度000000000(1)PDEnnn由于极化电荷都在介质的上下两表面，故极化电荷体密度0。两极板间介质中的电场E为板上自由电荷产生的电场0E和介质表面束缚电荷产生的电场E的叠加。设介质表面极化电荷面密度为。000E0EEEE00)(100000)1(对于靠近带正电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为。靠近带负电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为。7-8如图所示，平行板电容器两极板相距为d，接到电压为U伏的电源上，在其间插入厚为x、相对电容率为r的玻璃平板。略去边缘效应，求空隙中和玻璃中的电场强度。题7-8图解：设电容器极板上电荷面密度为0，则两极板间空气间隙中的场强为000E玻璃平板中的场强为rE000EEr0①两极板间的电位差xExdEU)(0②由①、②两式可得0()rrUEdxx()rUEdxx7-9在相对电容率为1r、半径为R的均匀电介质球的中心有一点电荷q，介质球外的空间充满相对电容率为2r的均匀电介质。求距q为r(rR)处的场强及电势（选无穷远处为电势零点）。解：介质球中心的点电荷q产生的电场具有球对称性。由高斯定理，介质球内外的场强分别为21014rqEr（rR）22024rqEr（rR）选无穷远处为电势零点，距q为r（rR）处的电势RrrRrRqRrqdrEdrEV2010214)11(47-10有一面积为S、间距为d的平行板电容器。（1）在板间平行于极板面插入厚度为3d，面积也为S的相对电容率为r的均匀电介质板，计算其电容；（2）若插入的是同样尺寸的导体板，求其电容；（3）上下平移介质板或导体板对电容有无影响？d1d2d3VVBA+++---题7-10图解：设电容器极板所带电荷面密度为（1）两极间电势差332211dEdEdEVVBA123000rddd20310)(dddr由331dddd，32dd得rBAddVV00332电容dSdSVVQCrrrrBA)12(3)12(300（2）若插入导体板，则02E11331300ABVVEdEddd130002()()33ddddd电容dSdSVVQCBA233200（3）上下移动介质板或导体板对电容无影响。7-11如图所示，一无限大平行板电容器，设BA、两板相距cm0.5，板上各带电荷26103.3mC，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），求：（1）在两板之间距A板cm0.1处P点的电势；（2）A板的电势。解：（1）平板电容器两板间场强0EP点电势VrdVrdEVBP401049.1)()(（2）A板的电势dBAPr题7-11图VdVEdVBA401086.17-12面积是22.0m的两平行导体板放在空气中相距5.0mm，两板电势差为1000V，略去边缘效应。试求：（1）电容C；（2）各板上的电量Q、电荷的面密度和板间电场强度E的值。解：（1）平板电容器电容FFdSC3901054.31054.3（2）各板上的电量CCUQAB61054.3板上电荷的面密度261077.1mCSQ板间电场强度E的值150100.2CNE7-13如图所示，电容器由三片面积都是20.6cm的锡箔构成，相邻两箔间距离都是mm10.0，外边箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极，题7-13图（1）求电容C；（2）若在这电容器上加V220电压，问三箔上电荷的面密度各是多少？解：（1）三片锡箔组成的电容器，其电容相当两个电容器的并联。pFFdSdSCCC21000211006.11006.1（2）总电量CCUQ81034.2对于中间一片锡箔，总电量Q均匀分布在箔的两面，故锡箔面电荷密度251095.12mCSQ7-14如图所示，同心球电容器内外半径分别为1R和2R，两球间充满相对电容率为r的均匀介质，内球带电量Q，试求：（1）电容器内外各处电场强度E和两球的电势差U；（2）电介质中电极化强度P和极化电荷面密度；（3）电容C。解：（1）内球