1第一部分第五章第23讲命题点1矩形的性质与判定(2018年4考,2017年6考,2016年3考)1.(2017·玉林、崇左9题3分)如图,在矩形ABCD中,AB>BC,点E,F,G,H分别是边DA,AB,BC,CD的中点,连接EG,HF,则图中矩形的个数共有(C)A.5个B.8个C.9个D.11个2.(2018·北部湾经济区12题3分)如图,矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则cos∠ADF的值为(C)A.1113B.1315C.1517D.17193.(2017·河池18题3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是__2__.4.(2016·贺州18题3分)在矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,∠BED的角平分线EF与DC交于点F.若AB=9,DF=2FC,则BC=__62+3__.(结果保留根号)5.(2018·玉林25题10分)如图,在□ABCD中,DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′,在DC与AB上的垂足分别是M,N与M′,N′,连接EF.2(1)求证:四边形EFNM是矩形;(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.(1)证明:如答图,过点E,F分别作AD,BC的垂线,垂足分别是G,H.∵∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥AD,EM⊥CD,EM′⊥AB,∴EG=ME,EG=EM′,∴EG=ME=EM′=12MM′,同理可证:FH=NF=N′F=12NN′.∵CD∥AB,MM′⊥CD,NN′⊥CD,∴MM′=NN′,∴ME=NF=EG=FH.又∵MM′∥NN′,MM′⊥CD,∴四边形EFNM是矩形.(2)解:∵DC∥AB,∴∠CDA+∠DAB=180°.∵∠3=12∠CDA,∠2=12∠DAB,∴∠3+∠2=90°.在Rt△DEA中,∵AE=4,DE=3,∴AD=32+42=5.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠DCB.又∵∠2=12∠DAB,∠5=12∠DCB,∴∠2=∠5,由(1)知GE=NF.在Rt△GEA和Rt△NFC中,∠2=∠5,∠EGA=∠FNC=90°,GE=NF,∴△GEA≌△NFC(AAS),∴AG=CN.在Rt△DME和Rt△DGE中,DE=DE,ME=GE,3∴Rt△DME≌Rt△DGE(HL),∴DM=DG,∴DM+CN=DG+AG=AD=5,∴MN=CD-DM-CN=9-5=4.∵四边形EFNM是矩形,∴EF=MN=4.命题点2菱形的性质与判定(2018年3考,2017年6考,2016年5考)6.(2018·河池7题3分)如图,要判定□□ABCD是菱形,需要添加的条件是(D)A.AB=ACB.BC=BDC.AC=BDD.AB=BC7.(2017·来宾12题3分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AC=8,BD=6,E是AB的中点,则△OAE的周长是(C)A.18B.16C.9D.88.(2018·贵港11题3分)如图,在菱形ABCD中,AC=62,BD=6,E是BC边的中点,P,M分别是AC,AB上的动点,连接PE,PM,则PE+PM的最小值是(C)A.6B.33C.26D.4.59.(2016·钦州16题3分)如图,在菱形ABCD中,AB=4,线段AD的垂直平分线交AC于点N,△CND的周长是10,则AC的长为__6__.10.(2018·柳州23题8分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.4(1)求菱形ABCD的周长;(2)若AC=2,求BD的长.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∴菱形ABCD的周长为2×4=8.(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=2,AB=2,∴AC⊥BD,AO=1,∴BO=AB2-AO2=22-12=3,∴BD=23.11.(2018·北部湾经济区23题8分)如图,在□ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.(1)求证:□ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求□ABCD的面积.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.在△AEB和△AFD中,∠B=∠D,BE=DF,∠AEB=∠AFD,∴△AEB≌△AFD(ASA),∴AB=AD,∴□ABCD是菱形.(2)解:如答图,连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,AO=OC=12AC=12×6=3.∵AB=5,AO=3,∴BO=AB2-AO2=52-32=4,∴BD=2BO=8,∴S□ABCD=12AC·BD=24.12.(2016·贺州22题9分)如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.5(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若AB=3,∠DCF=30°,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)(1)证明:∵O是AC的中点,且EF⊥AC,∴AF=CF,AE=CE,OA=OC.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AFO=∠CEO.在△AOF和△COE中,∠AFO=∠CEO,∠AOF=∠COE,OA=OC,∴△AOF≌△COE(AAS),∴AF=CE,∴AF=CF=CE=AE,∴四边形AECF是菱形.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=3,在Rt△CDF中,cos∠DCF=CDCF,∠DCF=30°,∴CF=CDcos30°=2.∵四边形AECF是菱形,∴CE=CF=2,∴S四边形AECF=EC·AB=23.13.(2018·贺州24题8分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O,D分别是边AC,AB的中点,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若四边形AECD的面积为24,tan∠BAC=34,求BC的长.(1)证明:∵点O是AC的中点,∴OA=OC.∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO.6在△AOD和△COE中,∠DAO=∠ECO,OA=OC,∠AOD=∠COE,∴△AOD≌△COE(ASA),∴AD=CE.∵CE∥AB,∴四边形AECD是平行四边形.又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD=AD,∴四边形AECD是菱形.(2)解:∵四边形AECD是菱形,∴AC⊥ED,在Rt△AOD中,tan∠DAO=ODOA=tan∠BAC=34,设OD=3x,OA=4x,则ED=2OD=6x,AC=2OA=8x,由题意可得12×6x×8x=24,解得x=1,∴OD=3.∵O,D分别是AC,AB的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴BC=2OD=6.14.(2016·南宁25题10分)已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B,C重合),求证:BE=CF;(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.图1图2图3(1)解:AE=EF=AF.理由:如答图1,连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,∴△ABC,△ADC是等边三角形,∴∠BAC=∠DAC=60°.∵BE=EC,∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC.∵∠EAF=60°,∴∠CAF=∠DAF=30°,∴AF⊥CD,∴AE=AF(菱形的高相等),∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF.7图1图2图3命题点3正方形的性质与判定(2018年3考,2017年8考,2016年3考)15.(2018·桂林11题3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD的边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为(C)A.3B.23C.13D.1516.(2018·贺州18题3分)如图,正方形ABCD的边长为12,点E在边AB上,BE=8,过点E作EF∥BC,分别交BD,CD于G,F两点.若点P,Q分别为DG,CE的中点,则PQ的长为__213__.17.(2016·玉林、防城港、崇左18题3分)如图,已知正方形ABCD边长为1,∠EAF=45°,AE=AF,有下列结论:①∠1=∠2=22.5°;②点C到EF的距离是2-1;③△ECF的周长为2;④BE+DF>EF.其中正确的结论是__①②③__.(写出所有正确结论的序号)18.(2017·来宾23题8分)如图,在正方形ABCD中,H为CD的中点,延长AH至F,使AH=3FH,过F作FG⊥CD,垂足为G,过F作BC的垂线交BC的延长线于点E.8(1)求证:△ADH∽△FGH;(2)求证:四边形CEFG是正方形.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADH=90°.∵FG⊥CD,∴∠FGH=∠ADH=90°.∵∠AHD=∠FHG,∴△ADH∽△FGH.(2)∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠BCD=90°.∵FG⊥CD,FE⊥CE,∴∠FGC=∠GCE=∠CEF=90°,∴四边形CEFG是矩形.∵△ADH∽△FGH,∴GFDA=GHDH=FHAH.∵H为CD的中点,AH=3HF,∴DH=CH,∴GF2DH=GHDH=13,∴GF=23DH,GH=13DH,∴CG=CH-GH=DH-13DH=23DH,∴GF=CG,∴四边形CEFG是正方形.命题点4特殊四边形的综合(2017年河池考,2016年玉林、防城港、崇左考)19.(2016·玉林、防城港、崇左25题10分)如图1,菱形ABCD对角线AC,BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点,四个顶点A,B,C,D分别在四边形EFGH的边EF,FG,GH,HE上.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)如图2,若四边形EFGH是矩形,当AC与FH重合时,已知ACBD=2,且菱形ABCD的面积是20,求矩形EFGH的长与宽.第19题图9(1)证明:∵点O是菱形ABCD对角线AC,BD的交点,∴OA=OC,OD=OB.∵点O是线段FH的中点,∴OF=OH.在△AOF和△COH中,OA=OC,∠AOF=∠COH,OF=OH,∴△AOF≌△COH(SAS),∴∠AFO=∠CHO,∴AF∥CH.同理可得DH∥BF.∴四边形EFGH是平行四边形.(2)解:设矩形EFGH的长为a,宽为b,则AC=a2+b2.∵ACBD=2,∴BD=12AC=a2+b22,OB=12BD=a2+b24,OA=12AC=a2+b22.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°.∵四边形EFGH是矩形,∴∠AGH=90°,∴∠AOB=∠AGH=90°.又∵∠BAO=∠CAG,∴△BAO∽△CAG,∴BOCG=OAAG,即a2+b24b=a2+b22a.解得a=2b①.∵S菱形ABCD=12AC·BD=12·a2+b2·a2+b22=20,∴a2+b2=80②.联立①②得a=2b,a2+b2=80,解得a=8,b=4,或a=-8,b=-4.(舍去)∴矩形EFGH的长为8,宽为4.