经典功率谱估计讲解

•广州大学物理与电子工程学院第六章功率谱估计6.5经典功率谱估计主要内容1、周期图法2、平滑周期图法3、平均周期图法1）周期图法功率谱估计其他01,,1,0][][NkkxkxN方法基础——卷积和:][*][1][ˆnxnxNnRNNx由维纳—辛钦定理]}[*][{DTFT1)(ˆnxnxNPNNx)e()e(1jjNNXXN2j)e(1NXN已知：称周期图用IN()表示1、周期图法周期图法功率谱估计的方法与步骤：10jje][]}[{DTFT)e(NkkNNNkxkxX2jjDTFT)e(1)()e(][NxNNXNPXkx功率谱估计其中：2DFT][1][][][mXNmPmXkxNxNN功率谱估计10π2je][]}[{DFT][NkmkNNNNkxkxmX1、周期图法例1：用周期图法计算功率谱估计已知实平稳随机序列X[k]单一样本的N个观测值为x[k]={1,0，1}，试利用周期图法估计其功率谱。分析：利用周期图法计算功率谱估计的关键是：1)获得随机序列单一样本N个观测值的傅氏变换！2)再由下式即得功率谱估计：2j)e(1)()(ˆNNxXNIP解：对x[k]进行离散时间傅里叶变换(DTFT)：2j10jje1e][)e(NkkNkxX)e()e(1)e(1)(j*j2jNNNNXXNXNI)e1)(e1(312j2j)cos1(32功率谱估计为：例1：用周期图法计算功率谱估计已知实平稳随机序列X[k]单一样本的N个观测值为x[k]={1,0，1}，试利用周期图法估计其功率谱。例2：利用周期图法进行平稳高斯白噪声的谱估计产生30组N点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪声，分别计算N=64，128，256，512时的功率谱估计值，并分析谱估计质量。分析：利用随机信号产生器产生30组N点平稳高斯白噪声，由下式：2j)e(1)(NxXNP分别计算出30组信号的周期图，再取平均即可得到功率谱估计值。平稳高斯白噪声功率谱估计结果(周期图法)01234020020N=64FrequencyPowerSpectral(dB)01234020020N=128Frequency01234020020N=256FrequencyPowerSpectral(dB)01234020020N=512FrequencyPowerSpectral(dB)PowerSpectral(dB)结论：功率谱估计值在0dB附近波动，波动的大小不随数据长度N的增加而减小，即周期图法谱估计的方差较大，且不随N的增加而减小。例2：利用周期图法进行平稳高斯白噪声的谱估计产生30组N点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪声，分别计算N=64，128，256，512时的功率谱估计值，并分析谱估计质量。1、周期图法2）周期图法功率谱估计的质量均值：1j(1){()}[]eNnNnNNnEIRnNN，E{IN()}=Px()}，渐进无偏估计方差：}sin)sin(1{)}(var{24NNINN增加，方差不减小，不是一致估计！1.问题的提出周期图法进行功率谱估计,方差不随N的增加减小。如何提高谱估计质量?即如何减小方差？方法:(1)对自相关函数估计值加窗。(2)将N个观测值分段,计算各段的周期图,再取平均。周期图法的改进对自相关函数估计值加窗,将误差较大的估计值截去：nxNNnMnRnwPj1)1(e][ˆ][)(窗函数w[n](MN)满足下述条件：MnnwMnnwnwwnw0][][][1]0[][02、平滑周期图(Blackman-Tukey法)B-T法进行功率谱估计的主要步骤：(1)利用观测数据估计自相关序列。(2)对自相关函数估计值加窗。(3)计算加窗后自相关函数的DTFT。优点：PM()波动比IN()小，是一致估计缺点：降低了频率分辨率2、平滑周期图(Blackman-Tukey法)1,1,0;1,1,0];[][MkAikiMxkxi第i段序列的周期图为：2j)e(1)(MiMXMI平均周期图：)(1)(10iMAiAMIAP将随机序列X[k]的N个观测值分成A段：3、平均周期图法(Welch-Bartlett法)平均周期图法估计质量：)}(var{1)}(var{iMAMIAPA,方差为零，是一致估计1)1(je][)]([biaNNnnNnRNnI)]([bia)]([biaNiMII平均周期图方差减小的代价之一是偏差增大。因为所以3、平均周期图法(Welch-Bartlett法)平均周期图法优点：减小方差缺点：增加估计的偏差，降低了谱的分辨率0N-1i=1i=3i=2i=AMMMM原因：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣宽度越大解决方法：将各段数据有一定程度的重叠。4、重叠平均周期图法(Welch法)例2：利用Welch法进行平稳高斯白噪声的谱估计产生30组512点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪声，利用Welch法按照50%重叠分别将其分成A=3，7，15，31段，计算功率谱估计值，并分析谱估计质量。分析：(1)对每组512点数据按各段数据重叠50%的方式分成3段256点序列，7段128点序列，15段64点序列，31段32点序列。10)(1)(AiiMAMIAP(2)求出每段数据的周期图：2][1][mXMmIiMiM(3)再取平均即得各组数据的功率谱估计,即：平稳高斯白噪声功率谱估计结果(Welch法)0123-40-20020M=256FrequencyPowerSpectral(dB)0123-40-20020M=128FrequencyPowerSpectral(dB)0123-40-20020M=64FrequencyPowerSpectral(dB)0123-40-20020M=32FrequencyPowerSpectral(dB)结论：1）随着分段数A的增加，谱估计越来越平滑，方差明显减小。2）Welch法的谱估计结果比周期图法的谱估计结果有显著改善，更接近理论分析(0dB)。例2：利用Welch法进行平稳高斯白噪声的谱估计产生30组512点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪声，利用Welch法按照50%重叠分别将其分成A=3，7，15，31段，计算功率谱估计值，并分析谱估计质量。五、小结1、周期图法2、平滑周期图法]}[*][{DTFT1)(ˆnxnxNPNNx)e()e(1jjNNXXN2j)e(1NXN平滑周期图法进行功率谱估计的主要步骤：(1)利用观测数据估计自相关序列；(2)对自相关函数估计值加窗；(3)计算加窗后自相关函数的DTFT。五、小结3、平均周期图法1,1,0;1,1,0];[][MkAikiMxkxi第i段序列的周期图为：2j)e(1)(MiMXMI得到平均周期图：)(1)(10iMAiAMIAP将随机序列X[k]的N个观测值分成A段：4、重叠平均周期图法(Welch法)与平均周期图法的区别：将数据分段时对各段数据有一定程度的重叠。