功率谱估计

功率谱估计--非参数估计方法功率谱估计经典功率谱估计（非参数法）自相关法周期图法参数谱估计（参数法）AR、MA、ARMA模型经典谱估计法-自相关法自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长度为N。先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT变换，得到功率谱的估计PBT(w)。||101ˆ()()()NmxxnrmxnxnmNˆˆ()()mjwmBTxxmPwrme自相关法由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N，因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：这样，功率谱估计为：ˆ()||1ˆ()0xxxxrmmNrmelse11ˆˆ()()mNjwmBTxxmNPwrme周期图法相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计，进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率谱密度的另一定义：1201()lim[|()|]NjwnxxNnPwExneN周期图法由于只有一个样本函数，因此忽略期望运算，得到周期图法的功率谱估计：1201ˆ()|()|NjwnxxnPwxneN周期图法FFT取模的平方ˆ()xxPw1/N()xn自相关法和周期图法的关系将周期图法的估计式展开：令m=k-n，则k=m+n1201ˆ()|()|NjwnxxnPwxneN*001()()NNjwkjwnknxkexneN*()1()()jwknknxkxneN自相关法和周期图法的关系这里的自相关函数估计实际上就是有偏估计的自相关函数。1(1)ˆ()NjwmxxmNrme11*(1)01ˆ()[()()]NNmjwmxxmNnPwxnxnmeN自相关法和周期图法的关系因此，利用有偏估计得到的自相关函数，再计算功率谱，与周期图法估计的功率谱密度是等价的：实际上由于周期图法需要傅立叶变换，在快速傅立叶变换出现之前，自相关法比较多的应用于谱估计。ˆˆ()()xxBTPwPw周期图法估计功率谱的性能分析偏移量方差一致性周期图法的偏移量与相关法等价，因此功率谱估计为：其均值为：1(1)ˆˆ()()NjwmxxxxmNPwrme1(1)ˆˆ[()][()]NjwmxxxxmNEPwErme周期图法的偏移量自相关函数为有偏估计：其中v(m)为三角窗函数：1(1)||ˆ[()]()NjwmxxxxmNNmEPwrmeN()()jwmxxmvmrme||||()0NmmNvmNelse周期图法的偏移量这样，功率谱的均值为：估计的功率谱密度的均值是真实功率谱和三角窗函数幅度谱的卷积，是有偏估计。同时随着N→∞，三角窗函数的谱接近于冲激相应，这样估计的功率谱的均值趋向于真实谱，因此周期图法是渐进无偏估计。ˆ[()]()()xxxxEPwPwVw周期图法的方差这里为了分析简单，假设随机序列是N(0,σx2)的白噪声信号，其周期图估计的功率谱表示为IN(w)，则方差为：22var[()][()]|[()]|NNNIwEIwEIw42sin(){1[]}sin()xNwNNw周期图法的方差这样周期图法的方差和σx4是一个数量级，而信号的功率是σx2，因此周期图法的方差是比较大，即表示周期图法估计功率谱密度的波动性比较大同时由于估计方法的一致性取决于估计的均值和方差，因此周期图法是非一致性估计。数据长度N对周期图法的影响周期图法估计功率谱密度的均值为真实谱和三角窗函数幅度谱的卷积：则三角窗函数的长度为2N-1。ˆ[()]()()xxxxEPwPwVw数据长度N对周期图法的影响由于是卷积的关系，因此三角窗的长度对真实谱的影响为：N增加，表示三角窗的时域长度增加，则其频域的主瓣宽度4π/N减小，那么三角窗的平滑效果减小，则估计的谱的波动性增加。其中θ是在[02π]范围内均匀分布的随机变量，v(n)是均值0、方差1的白噪声，数据长度分别为64、5121()5sin()()xnnwvn数据长度N对周期图法的影响01234567-10010203001234567-10010203040数据长度N对周期图法的影响同时，若N增加，三角窗的主瓣宽度变小，则提高了估计谱的频谱分辨率，即估计谱能够分辨真实谱中两个靠的很近的谱峰。其中θ1、θ2是在[02π]范围内均匀分布的随机变量，v(n)是均值0、方差1的白噪声1122()5sin()5sin()()xnnwnwvn数据长度N对周期图法的影响01234567-40-200204001234567-100102030N=40数据长度N对周期图法的影响01234567-60-40-2002040012345670102030N=64数据长度N对周期图法的影响01234567-100-5005001234567-100102030N=128周期图法的改进周期图法的不足N太大，谱曲线起伏加剧N太小，谱的分辨率又太小周期图法的改进平均周期图法窗函数法修正的周期图求平均法平均周期图法由于在周期图法中，对功率谱的估计中没有进行期望运算：1201()lim[|()|]21NjwnxxNnPwExneN1201ˆ()|()|NjwnxxnPwxneN平均周期图法如果能够对若干样本数据进行周期图法估计功率谱密度，并进行平均运算。那么从随机信号处理的角度而言，对L个独立、同分布的随机变量进行相加，则求和后的随机变量的方差为原随机变量方差的1/L：111var[]var()LiiixxLL平均周期图法将N点长的一个样本数据[x(0),x(1),…,x(N-1)]分成L段，每一段的长度是N/L，每一段进行周期图法的功率谱估计，得到L个估计的功率谱Ii(w)，则平均的功率谱为：11ˆ()()LxxiiPwIwL平均周期图法平均周期图法则该估计方法的偏移量，即估计功率谱的均值：由于Ii(w)是N/L长度的数据根据周期图法估计的功率谱，因此该功率谱的均值是真实谱与三角窗函数幅度谱的卷积，即：ˆ[()][()]xxiEPwEIw[()]()()iEIwPwVw平均周期图法注意这里三角窗函数的时间长度为2N/L，不是原来的2N，因此平均周期图法中由于三角窗长变大，则平滑效果明显，偏移量增大，降低了频域的分辨率。平均周期图法估计功率谱的方差为：1ˆvar[()]var[()]xxiPwIwL42sin(/){1[]}/sin(/)xNLwLNLNLw平均周期图法减小了方差，但同时牺牲了偏移量和分辨率。由于平均周期图法假设了每一段估计的功率谱密度是独立，如果采用同一个样本进行估计，因此独立性是很难保证的，因此估计功率谱的方差减小量没有公式计算的小。平均周期图法N=256N=256，L=4020040060080010001200-30-25-20-15-10-50510020040060080010001200-30-25-20-15-10-50510窗函数法周期图法的功率谱估计为：相当于对无限长的样本数据加上了矩形窗函数，其中矩形窗的长度为N。1201ˆ()|()|NjwnxxnPwxneN21|()()|jwnnxnvneN窗函数法在实际采样过程中，只能得到一个样本函数的有限长数据，就相当于对原无限长的一个样本数据加上了矩形窗函数。窗函数法对时域信号加上窗函数后，对估计的功率谱密度的影响是如何？估计的自相关函数为：其中N为窗函数v(n)的时间长度ˆˆ()()jwmxxxxmPwrme1ˆ()()()()()xxnrmxnvnxnmvnmN窗函数法则估计功率谱均值取决于自相关函数的均值：ˆˆ[()][()]jwmxxxxmEPwErme窗函数法则自相关函数的变化：1ˆ[()][()()()()]xxnErmExnvnxnmvnmN1[()()]()()nExnxnmvnvnmN1()()()xxnrmvnvnmN窗函数法其中1/N*∑v(n)v(n+m)为数据窗函数v(n)的自相关函数(确定性信号的自相关函数)。我们设其为vc(m)：1()()cnvvnvnmN窗函数法这样估计的功率谱密度的均值为：注意到Vc(w)为确定性信号自相关函数的傅立叶变换，实际上这个Vc(w)为确定性信号的功率谱：其中V(w)为窗函数v(n)的FFT21()|()|cVwVwNˆ[()]()()xxcEPwPwVw窗函数法这样加窗的功率谱密度均值为：其中V(w)为时域窗函数的FFT21ˆ[()]()[|()|]EPwPwVwN窗函数法如果窗函数为矩形窗vR(n)，则估计的功率谱密度均值为真实功率谱与窗函数功率谱的卷积(实际上这个窗函数功率谱是三角窗函数的FFT变换)窗函数法如果加载的不是矩形窗，而是相同时间长度N的其它窗函数，如三角窗、Hanning、Hamming和Blackman窗，那么对估计的功率谱的影响是什么呢？窗函数法实际上也就相当于对N点的样本函数x(n)加载了窗函数。窗函数法首先由于估计功率谱密度均值是与窗函数能量谱的卷积关系，因此加窗后，仍然是有偏估计。并且估计的方差也与矩形窗的方差近似。其它窗函数的优势？？？窗函数法相同时间长度的不同类型窗函数提供了频谱分辨率(主瓣宽度)和谱掩蔽(旁瓣幅度)的折衷方法。不同窗函数具有不同主瓣宽度，而旁瓣衰减也有所不同。窗函数法窗函数旁瓣衰减(dB)主瓣宽度(*2pi/N)矩形窗-130.89Hanning-321.44hamming-431.30Blackman-581.68窗函数法1122()5sin()5sin()()xnnwnwvn窗函数法矩形窗01234567-100-5005001234567-100102030窗函数法汉明窗01234567-60-40-200204001234567-100102030窗函数法1122()0.2sin()5sin()()xnnwnwvn窗函数法矩形窗01234567-60-40-200204001234567-100102030窗函数法汉明窗01234567-60-40-200204001234567-100102030修正的周期图求平均法这种功率谱估计方法综合了以上两种改进算法：首先将N长的信号x(n)分为L段，每一段的长度为N/L。再将窗函数v(n)加载到每一个数据段上。修正的周期图求平均法采取以上修正算法对原有周期图法的改进将数据段截断，数据长度由原来的N点变为N/L，则估计功率谱的方差变为原来的1/L，因此降低了方差。同时数据加载了窗函数，增加了旁瓣衰减，因此和原来的矩形窗相比，窗函数降低了真实功率谱中不同谱峰的相互干扰。修正的周期图求平均法但同时算法也有自身的局限：数据段截断，减小了每一段数据的长度，则相应降低了频域分辨率。再者，加入了其它类型的窗函数，则增加了窗函数的主瓣宽度，再次降低了频率分辨率。因此经典的谱估计算法无论采用哪种改进方法，总是牺牲了分辨率，从而得到估计方差的减小。应用周期图法以及改进的周期图法对不同信号的功率谱估计性能是不同的。对于正弦信号这样包含谱峰的信号而言，在要考虑频域分辨率的同时，考虑主瓣宽度对其它谱峰的影响问题。而类似于平缓谱结构的信号，则需要考虑其波动性。应用数据长度为512点，平均周期图法中分段个数为41122()10sin()sin()()xnnwnwvn应用：正弦信号0123456