立体几何练习题(含答案)

1立几测001试一、选择题：1．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以且只可以作一个平面与b平行2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为()Ａ．0Ｂ．1Ｃ．1或4Ｄ．无法确定3．在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别为棱1AA、1BB的中点，则异面直线CM和1DN所成角的正弦值为()Ａ．19Ｂ．23Ｃ．459Ｄ．2594．已知平面平面，m是内的一直线，n是内的一直线，且mn，则：①m；②n；③m或n；④m且n。这四个结论中，不正确．．．的三个是()Ａ．①②③Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是()A.4B.5C.6D.86.在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R）()A.R42B.R3C.R2D.3R7.直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题(1)ml//(2)ml//(3)ml//(4)//ml其中正确的命题是()A.(1)与(2)B.(2)与(4)C.(1)与(3)D.(3)与(4)8.正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是()A.60B.46C.34D.239．ABC中，9AB，15AC，120BAC，ABC所在平面外一点P到点A、B、C的距离都是14，则P到平面的距离为()Ａ．7Ｂ．9Ｃ．11Ｄ．1310．在一个45的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为()Ａ．30Ｂ．45Ｃ．60Ｄ．9011.如图,E,F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作D.给出下列位置关系:①SD⊥面DEF;②SE⊥面DEF;2③DF⊥SE;④EF⊥面SED,其中成立的有:()Ａ.①与②B.①与③C.②与③D.③与④12.某地球仪的北纬60度圈的周长为6cm,则地球仪的表面积为()A.24cm2B.48cm2C.144cm2D.288cm2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.直二面角α—MN—β中，等腰直角三角形ABC的斜边BCα，一直角边ACβ，BC与β所成角的正弦值是46，则AB与β所成角大小为__________。14.如图在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中,E是BC中点,若△VAE的面积是41,则侧棱VA与底面所成角的大小为15．如图，已知矩形ABCD中，1AB，BCa，PA面ABCD。若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于______.16.六棱锥P—ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥底面ABCDEF，给出下列四个命题①线段PC的长是点P到线段CD的距离；②异面直线PB与EF所成角是∠PBC；③线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离；④∠PEA是二面角P—DE—A平面角。其中所有真命题的序号是_______________。三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）17．(本小题满分10分)如图，已知直棱柱111ABCABC中，16AA，M是90ACB，30BAC，1BC，1CC的中点。求证：11ABAM18．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD中，33AB，3BC，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到P点，且P在平面ABD上的射影O恰好在AB上。(第2、3小题答案计算有误)（1）求证：PB面PAD；（2）求点A到平面PBD的距离；（3）求直线AB与平面PBD的成角的大小PABQCDABC1B1A1CM319．（本小题满分12分）如图,已知PA面,ABCADBC,垂足D在BC的延长线上,且1BCCDDA(1)记PDx,BPC,试把tan表示成x的函数,并求其最大值.(2)在直线PA上是否存在点Q,使得BQCBAC20.（本小题满分12分）正三棱锥V-ABC的底面边长是a,侧面与底面成60°的二面角。求（1）棱锥的侧棱长；（2）侧棱与底面所成的角的正切值。21.（本小题满分14分）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC的中点，（1）求证：AB1//平面C1BD;（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值;（3）求直线AB1到平面C1BD的距离。22.（本小题满分14分）已知A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上，∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6.（1）求二面角A-EB-D的大小；（2）求三棱锥O-AA1D体积.ABCDAB()PCDOPABCD4立测试001答案一．选择题：(每题5分,共60分)题号123456789101112答案DCCBDBCCAABC二．填空题：(每题4分,共16分)13.60º14.41arctan15.216.①④三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）17．(10分)解：【法一】90ACB1111BCAC，又三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以11BC面1AC，连结1AC，则1AC是1AB在面1AC上的射影在四边形11AACC中，1111112AAACACCM，且11112AACACM，1111AACACM，11ACAM11ABAM【法二】以11CB为x轴，11CA为y轴，1CC为z轴建立空间直角坐标系由1BC，16AA，90ACB，30BAC，易得1(0,3,0)A，(0,3,6)A，6(0,0,)2M，1(1,0,0)B1(1,3,6)AB，16(0,3,)2AM11603(6)02ABAM11ABAM所以11ABAM18．解：（1）P在平面ABD上的射影O在AB上，PO面ABD。故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。又DAAB，DABP，又BCCD，BPPDADPDDBP面PAD（2）过A作AEPD，交PD于E。BP面PAD，BPAE，AE面BPD故AE的长就是点A到平面BPD的距离ADAB，DABCAD面ABPADAP在RtABP中，2232APABBP；在RtBPD中，33PDCD5在RtPAD中，由面积关系，得323633APADAEPD（3）连结BE，AE面BPD，BE是AB在平面BPD的射影ABE为直线AB与平面BPD所成的角在RtAEB中，2sin3AEABEAB，2arcsin3ABE19．(1)PA面ABC,,BDADBCPD,即90.PDB在RtPDB和RtPDC中,21tan,tanBPDCPDxx,221tantantan()2121xxxBPCBPDCPDxxx(1x)1122422xx,当且仅当2x时,tan取到最大值24.(2)在RtADB和RtDC中,tanBAD=2,tan1CAD2112tantan()12134BACBADCAD故在PA存在点Q(如1AQ)满足12tan34BQC,使BQCBAC20.(12分)解：（1）过V点作V0⊥面ABC于点0，VE⊥AB于点E∵三棱锥V—ABC是正三棱锥∴O为△ABC的中心则OA=aa332332，OE=aa632331又∵侧面与底面成60°角∴∠VEO=60°则在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=2363aa在Rt△VAO中，VA=6211273422222aaaaAOVO即侧棱长为a6216（2）由（1）知∠VAO即为侧棱与底面所成角，则tan∠VAO=23332aaAOVO21(12分)解：（1）连结BC1交B1C于点E，则E为B1C的中点，并连结DE∵D为AC中点∴DE∥AB1而DE面BC1D，AB1面BC1D∴AB1∥面C1BD（2）由（1）知AB1∥DE，则∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角由条件知B1C=10，BC=8则BB1=6∵E三棱柱中AB1=BC1∴DE=5又∵BD=34823∴在△BED中2515524825252cos222DEBDBDDEBEBED故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为251（3）由（1）知A到平面BC1D的距离即为直线AB1到平面BC1D的距离设A到平面BC1D的距离为h，则由ABDCDBCAVV11得CCShSABDDBC131311即h=DBCABDSCCS11由正三棱柱性质得BD⊥C1D则DCBDSDBC1:211∴131312522446642121221111DCCCADDCBDCCADBDh即直线AB1到平面的距离为13131222.(14分)证明：①设F为BE与B1C的交点，G为GE中点∵AO∥DF∴AO∥平面BDE②α=arctan2-arctan22或arcsin1/3③用体积法V=31×21×6×h=178立几测试002一、选择题（12×5分）1．已知直线a、b和平面M，则a//b的一个必要不充分条件是（）A．a//M,b//MB．a⊥M，b⊥MC．a//M,bMD．a、b与平面M成等角2．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（）A．23B．63C．43D．333．a,b是异面直线，A、B∈a,C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a与b所成的角为（）A．30°B．60°C．90°D．45°4．给出下面四个命题：①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交；②“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l⊥平面；③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；④“直线a∥平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．设l1、l2为两条直线，a、β为两个平面，给出下列四个命题：(1)若l1,l2，l1∥β，l1∥a则a∥β.(2)若l1⊥a，l2⊥a，则l1∥l2(3)若l1∥a，l1∥l2，则l2∥a(4)若a⊥β，l1，则l1⊥β其中，正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．三棱柱111CBAABC中，侧面BBAA11底面ABC，直线CA1与底面成60角，2CABCAB，BAAA11，则该棱柱的体积为（）A．34B．33C．4D．37．已知直线l⊥面α，直线m面β，给出下列命题：（1）//lm（2）lm//（3）lm//（4）lm//其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.48．正三棱锥SABC的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（）A.abB.ab2C.ab4D.22ab9．已知平面α、β、γ，直线l、m，且lmml,,,，给出下列四个结论：①；②l；③m；④.则其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．310．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与支线AM所成角的大小为（）A.45ºB.90ºC.60ºD.不能确定ABCA1B1C1ABA1