（毕节专版）2019年中考数学复习 专题8 二次函数与几何图形的综合（精讲）试题

1专题八二次函数与几何图形的综合毕节中考备考攻略二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函数与线段的长(1)一般设抛物线上点的横坐标为x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；(2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；(3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决.2.二次函数与图形的面积(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积.3.二次函数与特殊三角形(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论；(2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论.4.二次函数与特殊四边形此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.5.二次函数与相似三角形结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破二次函数与线段的长例1(2018·遂宁中考改编)如图,已知抛物线y＝ax2＋32x＋4的对称轴是直线x＝3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧),与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；(2)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN＝3时,求点M的坐标.【解析】(1)由抛物线的对称轴x＝3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标；2(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MN∥y轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN＝3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋32x＋4的对称轴是直线x＝3,∴－322a＝3,解得a＝－14,∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋32x＋4.当y＝0时,－14x2＋32x＋4＝0,解得x1＝－2,x2＝8.∴点A的坐标为(－2,0),点B的坐标为(8,0)；(2)当x＝0时,y＝－14x2＋32x＋4＝4,∴点C的坐标为(0,4).设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0).将B(8,0),C(0,4)代入y＝kx＋b,得8k＋b＝0，b＝4，解得k＝－12，b＝4，∴直线BC的解析式为y＝－12x＋4.设点M的坐标为m，－14m2＋32m＋4,则点N的坐标为m，－12m＋4,∴MN＝－14m2＋32m＋4－－12m＋4＝－14m2＋2m.又∵MN＝3,∴－14m2＋2m＝3.当－14m2＋2m≥0,即0≤m≤8时,－14m2＋2m＝3,解得m1＝2,m2＝6,此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).同理,当－14m2＋2m＜0,即m8或m0时,点M的坐标为(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).1.(2018·安顺中考改编)如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).3(1)若直线y＝mx＋n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标.解：(1)依题意,得－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，c＝3，解得a＝－1，b＝－2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.令y＝0,则－x2－2x＋3＝0,解得x1＝1,x2＝－3,∴点B(－3,0).把B(－3,0),C(0,3)代入y＝mx＋n,得－3m＋n＝0，n＝3，解得m＝1，n＝3，∴直线BC的解析式为y＝x＋3；(2)设直线BC与x＝－1的交点为M,连接AM.∵点A,B关于抛物线的对称轴对称,∴MA＝MB,∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC,∴当点M为直线BC与x＝－1的交点时,MA＋MC的值最小.把x＝－1代入y＝x＋3,得y＝2,∴M(－1,2).二次函数与图形的面积例2(2018·达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(72,0).(1)求抛物线的解析式；(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积.4【解析】(1)设交点式y＝axx－72,然后把A点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式；(2)延长CA交y轴于点D,易得OA＝2,∠DOA＝45°,则可判断△AOD为等腰直角三角形,由此可求出D点坐标,利用待定系数法求出直线AD的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程,解方程可得点C的坐标,利用三角形面积公式及S△AOC＝S△COD－S△AOD进行计算,进而得出△AOC的面积.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y＝axx－72.把A(1,1)代入y＝axx－72,可得a＝－25,∴抛物线的解析式为y＝－25xx－72,即y＝－25x2＋75x；(2)延长CA交y轴于点D.∵A(1,1),∠OAC＝90°,∴OA＝2,∠DOA＝45°,∴△AOD为等腰直角三角形,∴OD＝2OA＝2,∴D(0,2).由点A(1,1),D(0,2),得直线AD的解析式为y＝－x＋2.令－25x2＋75x＝－x＋2,解得x1＝1,x2＝5.当x＝5时,y＝－x＋2＝－3,∴C(5,－3),∴S△AOC＝S△COD－S△AOD＝12×2×5－12×2×1＝4.2.(2018·眉山中考改编)如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l：x＝2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；5(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3).把A(0,3)代入y＝a(x－1)(x－3),得3＝3a,解得a＝1,∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)由题意知P(m,m2－4m＋3).∵OE平分∠AOB,∠AOB＝90°,∴∠AOE＝45°,∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE＝OA＝3,∴E(3,3).易得OE的解析式为y＝x.过点P作PG∥y轴,交OE于点G,则G(m,m),∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3.∴S四边形AOPE＝S△AOE＋S△POE＝12×3×3＋12PG·AE＝92＋12×(－m2＋5m－3)×3＝－32m2＋152m＝－32m－522＋758.∵－32＜0,∴当m＝52时,四边形AOPE的面积最大,最大值是758.二次函数与特殊三角形例3(2018·枣庄中考改编)如图,已知二次函数y＝ax2＋32x＋c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.(1)求二次函数的表达式；(2)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案；6(2)分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标.【答案】解：(1)∵二次函数y＝ax2＋32x＋c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点C(8,0),∴c＝4，64a＋12＋c＝0，解得a＝－14，c＝4，∴二次函数的表达式为y＝－14x2＋32x＋4；(2)∵A(0,4),C(8,0),∴AC＝42＋82＝45.①以点A为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则AN＝AC,故△NAC是以NC为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(－8,0)；②以点C为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则CN＝CA,故△ACN是以NA为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(8－45,0)或(8＋45,0)；③作AC的垂直平分线,交x轴于点N,则NA＝NC,故△ANC是以AC为底边的等腰三角形,此时点N为BC的中点.令y＝－14x2＋32x＋4＝0,解得x1＝8,x2＝－2,此时N点坐标为(3,0).综上所述,点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标为(－8,0),(8－45,0),(3,0)或(8＋45,0).3.(2018·兰州中考)如图,抛物线y＝ax2＋bx－4经过A(－3,0),B(5,－4)两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：AB平分∠CAO；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.(1)解：将A(－3,0),B(5,－4)代入y＝ax2＋bx－4,得9a－3b－4＝0，25a＋5b－4＝－4，解得a＝16，b＝－56，∴抛物线的表达式为y＝16x2－56x－4；7(2)证明：∵AO＝3,OC＝4,∴AC＝5.取D(2,0),则AD＝AC＝5.由两点间的距离公式可知BD＝（5－2）2＋（－4－0）2＝5.∵C(0,－4),B(5,－4),∴BC＝5.∴AD＝AC＝BD＝BC.∴四边形ACBD是菱形,∴∠CAB＝∠BAD,∴AB平分∠CAO；(3)解：如图,抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F,过点A,B分别作M′A⊥AB,MB⊥AB,交对称轴于点M′,M.抛物线的对称轴为x＝52,AE＝115.∵A(－3,0),B(5,－4),∴tan∠EAB＝12.∵∠M′AB＝90°,∴tan∠M′AE＝2.∴M′E＝2AE＝11,∴M′52，11.同理,tan∠MBF＝2.又∵BF＝52,∴FM＝5,∴M52，－9.综上所述,抛物线的对称轴上存在点M52，11或52，－9,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形.二次函数与四边形8例4(2018·河南中考改编)如图,抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y＝x－5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M,当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标；【解析】(1)利用直线BC的解析式确定点B,C的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先利用抛物线的解析式求出A点坐标,再判断△OCB为等腰直角三角形,继而得到∠OBC＝∠OCB＝45°,则△AMB为等腰直角三角形,进而求出点M的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式设点P,Q的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,解方程即可得到点P的横坐标.【答案】解